公元628年，婆罗摩笈多写下了零和负数的运算规则、一个二次方程的解法，以及四边形的面积公式

婆罗摩笈多（Brahmagupta）的《婆罗摩历算书》（Brahmasphutasiddhanta）完成于公元628年，书中写明了零和负数在相加、相减、相乘时的表现。牛津大学的博德利图书馆（Bodleian Libraries）称它是第一份把零当作数来讨论的文献，施普林格出版的一部天文学家参考书说，作者写这本书时约30岁。

这些规则出现在一本诗体的天文学书里，在讲代数的一章中，那一章还有一个解二次方程的办法和一道留给读者的挑战题。本文只讲数学。十进制系统和零的符号怎样在几个世纪里成长起来，见印度把零给了世界这篇文章。

一部写成于约30岁、在比尔马拉的论著

圣安德鲁斯大学的数学史档案MacTutor和施普林格的《天文学家传记百科》（Biographical Encyclopedia of Astronomers）都把598年定为婆罗摩笈多的出生之年。在出生地上两者不同：MacTutor认为有可能是乌贾因，施普林格的答案是比尔马拉。无论哪种说法，他都是在比尔马拉（Bhillamala）写的《婆罗摩历算书》，那里就是今天拉贾斯坦邦西南部的宾马尔镇（Bhinmal），按MacTutor的描述，当时是古遮罗王朝（Gurjara）所辖各地的首府。他的父亲是吉湿奴笈多（Jisnugupta）。

关于628年，有一个更早的见证，出现在英国学者亨利·科尔布鲁克（Henry Colebrooke）1817年的导言里。乌贾因的天文学家告诉曾随英国使团住在那里的威廉·亨特（William Hunter），说婆罗摩笈多属于塞迦纪元550年，科尔布鲁克把它换算为公元628年。他补充说，他们的依据没有记录下来。

后来他主持了乌贾因的天文台，MacTutor称那里是当时古印度首屈一指的数学中心。MacTutor说，第二部著作《Khandakhadyaka》写于665年，当时他67岁。至于他的去世，MacTutor给出的是670年，而施普林格只说“665年之后”。

二十五章，其中两章是数学

《婆罗摩历算书》按MacTutor的算法有25章，按施普林格的算法有24章，后者指出有些版本增加了一章诗体的表，MacTutor的目录包括了这些表。MacTutor说，许多历史学家认为前十章是一个较早的版本，另外十五章是重大的增补，涉及代数、圭表（gnomon，一根竖直的杆，用来测量影子）、天球和仪器等主题。施普林格报告说，婆罗摩笈多把这部著作描述为对一个归于梵天（Brahma）的早期天文体系的改进。

第12章讲算术，第18章讲代数，数学就在这两章里。英语读者通过科尔布鲁克读到这两章，他把它们连同后来的注释一起译出，1817年在伦敦出版。他在导言中论证，婆罗摩笈多的这几章比阿拉伯语的代数著作更古老。

书里怎么说零

在MacTutor对这部论著的叙述里，零被定义为一个数减去它自己的结果。婆罗摩笈多关于零的规则出现在代数那一章里，在科尔布鲁克题为“Algorithm”（算法）的一节中，涵盖加、减、乘、除。

关于加法，科尔布鲁克的译文是：“零与负数之和为负；正数与零之和为正；两个零之和为零。”这里译文里的“cipher”和“nought”都是零的意思。减法的译文是：“从零中取走负数，得正；取走正数，得负。”MacTutor用钱的语言说，正数是财产，负数是债务，从零里取走一笔债务，就得到一笔财产。

接下来是乘法：负数乘正数得负，两个负数相乘得正，零乘任何数得零。今天的学生学的是同样的规则；陈述这些规则的论著，已有近1,400年。

在MacTutor的零的历史里，婆罗摩笈多是已知第一个尝试把算术推广到负数和零的人。背景来自藏有巴克沙利手稿（Bakhshali manuscript）的博德利图书馆：在这份桦树皮文本里，处处可见用一个圆点表示空位。碳年代测定把它最早的材料定到早至三世纪或四世纪，不过这份手稿的年代一直有争议，早先的一项研究曾把它定在八世纪到十二世纪之间。按博德利的叙述，从占位符号走到独立的数，这一步是在印度、在628年、在婆罗摩笈多的论著里迈出的。阿耶波多对零的认识，要早129年，在499年，见关于他数学的那篇文章。

用文字写成的二次规则

第18章还给出了一条规则，针对含有一个平方项、一个未知数和一个普通数的方程。科尔布鲁克的译文，在讲二次方程的那一节里说：把普通数乘以平方项系数的四倍，再加上未知数系数的平方。取结果的平方根，减去未知数的系数，再除以平方项系数的两倍。

用现代符号写成ax² + bx = c，这条规则给出的x等于(4ac + b²)的平方根减去b，再整个除以2a。读者可以拿x² + 2x = 3来检验：16的平方根是4，减2得2，除以2得1，所以x是1。诗节里只出现正的那个答案。

粉碎术，和一道限一年解出的挑战题

第18章开篇就称粉碎术（kuttaka）是解题的钥匙。这个方法求一个整数，使它被给定的几个数除时留下给定的余数。科尔布鲁克的文本演算了一个例子：哪个数被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2？它给出的答案是59。阿耶波多对同一方法的较短诗节，在上面链接的文章里讲过。

婆罗摩笈多还给读者出了一道题。取一个数，平方，乘以92，加1，使结果成为完全平方数。科尔布鲁克的译文说，一年之内解出它的人就是数学家。它最小的答案是120，可以手算验证：92乘120的平方，再加1，是1,324,801，也就是1,151的平方。MacTutor补充说，他为相关的方程8x² + 1 = y²找到了一系列解，其中有(1, 3)、(6, 17)和(35, 99)。

面积、圆，和四边形的情形

算术那一章给出一个三角形或四边形“精确”面积的公式。科尔布鲁克把它译作：把各边之和的一半写下四次，每次各减去一条边，相乘，“乘积的平方根就是精确面积”。科尔布鲁克指出，对三角形来说，四个减过的数中有一个保持为半和本身。他的注释演算了一个边长为14、13、15的三角形：半和是21，四个数是7、8、6、21，它们的乘积是7,056，其平方根是84。

MacTutor把同一条规则描述为四个顶点落在一个圆上的四边形的面积公式，并有与之配套的对角线公式。它补充说，婆罗摩笈多没有讲这个公式只适用于这类图形。MacTutor说，有些历史学家认为这是一个错误，另一些则认为他的意思仅限于那种情形。

在科尔布鲁克的译文里，圆的周长和面积各有两个值。乘以三，得到“实用”的数值；十倍平方的平方根，得到“整洁”的数值。用在周长上，就是直径乘以10的平方根，约为直径的3.16倍。

算术那一章里也满是日常的题目。MacTutor引用的一道，说的是以未知利率借出500德拉马（dramma）。它四个月的利息再以同样的利率借给另一个人，十个月后是78德拉马；读者要求出利率。

阿耶波多的批评者，和他唯一沉默之处

婆罗摩笈多的第十一章批评了前辈天文学家，主要是阿耶波多。按W. E. 克拉克（W. E. Clark）的叙述，婆罗摩笈多提到阿耶波多约六十次，最严厉的批评大多涉及阿耶波多背离传统的地方。克拉克补充说，阿耶波多数学部分的诗节，没有一节被引用或批评，他认为这种沉默也许意味着婆罗摩笈多没有发现可反对之处。

关于天文学，MacTutor说，婆罗摩笈多相信地球是静止的，并在第一部著作中给出一年的长度为365天6小时5分19秒。在《Khandakhadyaka》中他改为365天6小时12分36秒，MacTutor不认为这是一种改进。施普林格补充说，在那部后期著作的第一部分，他遵循的是半夜派（Ardharatrika），据它说是阿耶波多一世所创。关于地球自转的问题，见之前关于阿耶波多的文章。

从乌贾因到巴格达

在MacTutor对印度数学的概述里，婆罗摩笈多是乌贾因学派接下来的重要人物，他对负数和零的研究是对数系的重大贡献之一。施普林格说，他的天文学在八世纪下半叶传到了阿拉伯。

M. S. 汗（M. S. Khan）在为1987年国际天文学联合会研讨会所写的论文中报告，比鲁尼（al-Biruni）记载《婆罗摩历算书》是奉巴格达哈里发曼苏尔（al-Mansur）之命翻译的，时在伊斯兰历154或156年，即公元770年至773年之间。那个阿拉伯语版本叫《大辛德欣德》（Great Sindhind）。科尔布鲁克引用920年出版的阿拉伯天文表的序言，报告说一位印度天文学家在伊斯兰历156年（公元773年）把天文表带到曼苏尔的宫廷，穆罕默德·法扎里（Muhammad al-Fazari）把这本书译成了更大的《辛德欣德》。科尔布鲁克说，这个名字与梵语siddhanta之间的联系只是一种猜测。

按MacTutor的花剌子米传记，他自己的《辛德欣德历表》（zij，一种天文表册）所依据的印度文本，在770年前后随一个印度政治使团作为礼物到达巴格达宫廷。MacTutor的零的历史补充说，他讲印度计算术的著作，是今天伊拉克境内第一部把零用作占位符号的著作。

后来的印度数学家继续研究婆罗摩笈多留下的悬案，即除以零。他在规则里写道，零除以零是零，MacTutor认为这是错的，同时称整个努力是推广算术的一次出色尝试。约830年，摩诃毗罗（Mahavira）写了《Ganita Sara Samgraha》，作为对婆罗摩笈多那本书的更新，而在婆罗摩笈多之后500多年，巴斯卡拉（Bhaskara）仍在研究同一个问题。

MacTutor的零的历史记载，斐波那契（Fibonacci）约1200年在《计算之书》（Liber Abaci）中描述了九个印度数字连同符号0，称0为符号，其余九个为数。