৬২৮ খ্রিস্টাব্দে ব্রহ্মগুপ্ত লিখে রাখেন শূন্য ও ঋণাত্মক সংখ্যার নিয়ম, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান আর চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের একটি সূত্র

ব্রহ্মগুপ্তের ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত, ৬২৮ খ্রিস্টাব্দে সম্পূর্ণ, দেখিয়েছে যোগ, বিয়োগ ও গুণের সময় শূন্য ও ঋণাত্মক সংখ্যা কেমন আচরণ করে। অক্সফোর্ডের বোডলিয়ান লাইব্রেরি একে বলে শূন্যকে সংখ্যা হিসেবে আলোচনা করা প্রথম নথি, আর জ্যোতির্বিদদের নিয়ে স্প্রিঙ্গারের একটি রেফারেন্স গ্রন্থ বলে লেখার সময় এর রচয়িতার বয়স ছিল প্রায় ৩০।

নিয়মগুলি আছে জ্যোতির্বিদ্যার একটি পদ্যে লেখা বইয়ের ভেতরে, বীজগণিতের একটি অধ্যায়ে, যেখানে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের একটি উপায় আর পাঠকদের জন্য একটি চ্যালেঞ্জ-সমস্যাও আছে। এই লেখায় গণিতটুকু নিয়ে আলোচনা। দশমিক ব্যবস্থা ও শূন্যের চিহ্ন কীভাবে শতাব্দী ধরে গড়ে উঠল, তা আছে ভারত ও শূন্য নিয়ে লেখাটিতে।

প্রায় ৩০ বছরে শেষ করা এক গ্রন্থ, ভিল্লমালে

সেন্ট অ্যান্ড্রুজ বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত-ইতিহাসের সংগ্রহশালা ম্যাকটিউটর এবং স্প্রিঙ্গারের Biographical Encyclopedia of Astronomers, দুটিই ব্রহ্মগুপ্তের জন্মসাল দেয় ৫৯৮। স্থান নিয়ে তারা আলাদা: ম্যাকটিউটরের কাছে উজ্জয়িনী একটি সম্ভাবনা, আর স্প্রিঙ্গার জন্মস্থান বলে ভিল্লমালকে। যাই হোক, ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত তিনি লেখেন ভিল্লমালে, যা এখন রাজস্থানের দক্ষিণ-পশ্চিমের ভিনমাল শহর আর, ম্যাকটিউটরের বর্ণনায়, গুর্জর বংশের শাসনাধীন ভূখণ্ডের রাজধানী। তাঁর পিতা ছিলেন জিষ্ণুগুপ্ত।

৬২৮ সালের একটি পুরনো সাক্ষ্য আছে ইংরেজ পণ্ডিত হেনরি কোলব্রুকের ১৮১৭ সালের ভূমিকায়। উজ্জয়িনীর জ্যোতির্বিদেরা উইলিয়াম হান্টারকে, যিনি এক ব্রিটিশ দূতাবাসের সঙ্গে সেখানে থেকেছিলেন, বলেছিলেন ব্রহ্মগুপ্ত শকাব্দ ৫৫০-এর মানুষ, যাকে কোলব্রুক রূপান্তর করেছেন ৬২৮ খ্রিস্টাব্দে। তাঁদের ভিত্তি, তিনি যোগ করেন, লিখে রাখা হয়নি।

পরে তিনি উজ্জয়িনীর জ্যোতির্বিজ্ঞান মানমন্দিরের প্রধান হন, যাকে ম্যাকটিউটর তখনকার প্রাচীন ভারতের অগ্রণী গাণিতিক কেন্দ্র বলে। দ্বিতীয় গ্রন্থ খণ্ডখাদ্যক আসে ৬৬৫ সালে, ম্যাকটিউটর বলে, যখন তাঁর বয়স ৬৭। তাঁর মৃত্যু নিয়ে ম্যাকটিউটর বলে ৬৭০, আর স্প্রিঙ্গার বলে শুধু “৬৬৫-র পরে”।

পঁচিশ অধ্যায়, তার দুটি গণিতের

ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত-এ ম্যাকটিউটরের গণনায় ২৫টি অধ্যায়, স্প্রিঙ্গারের গণনায় ২৪টি, যা জানায় কিছু সংস্করণ পদ্যে লেখা সারণির একটি অধ্যায় যোগ করে; ম্যাকটিউটরের তালিকায় ওই সারণি ধরা আছে। ম্যাকটিউটর বলে, অনেক ঐতিহাসিক মনে করেন প্রথম দশটি অধ্যায় ছিল আগের একটি সংস্করণ, আর বাকি পনেরোটি একটি বড় সংযোজন, যাতে বীজগণিত, শঙ্কু (ছায়া মাপার একটি খাড়া দণ্ড), গোলক ও যন্ত্রের মতো বিষয় আছে। স্প্রিঙ্গার জানায়, ব্রহ্মগুপ্ত গ্রন্থটিকে বর্ণনা করেন ব্রহ্মার নামে আরোপিত একটি আগের জ্যোতিষ ব্যবস্থার উন্নত রূপ হিসেবে।

পাটিগণিতের দ্বাদশ অধ্যায় ও বীজগণিতের অষ্টাদশ অধ্যায় গণিতের কাজ ধরে। ইংরেজ পাঠকেরা দুটিই পেয়েছিলেন কোলব্রুকের কাছে, যিনি পরবর্তী টীকা সহ অনুবাদ করে ১৮১৭ সালে লন্ডনে প্রকাশ করেন। তাঁর ভূমিকায় তিনি যুক্তি দেন ব্রহ্মগুপ্তের অধ্যায়গুলি বীজগণিতের আরবি রচনার চেয়ে পুরনো।

শূন্য নিয়ে বইটি কী বলে

ম্যাকটিউটরের গ্রন্থ-বিবরণে শূন্য সংজ্ঞায়িত হয়েছে একটি সংখ্যা থেকে সেই সংখ্যাকেই বাদ দেওয়ার ফল হিসেবে। এর নিয়মগুলি ব্রহ্মগুপ্ত দিয়েছেন বীজগণিতের অধ্যায়ে, কোলব্রুক যে অংশের নাম দিয়েছেন “Algorithm”, আর তা যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ ধরে।

যোগের জন্য কোলব্রুকের অনুবাদ এই: “শূন্য ও ঋণাত্মকের যোগফল ঋণাত্মক; ধনাত্মক ও শূন্যের যোগফল ধনাত্মক; দুই শূন্যের যোগফল শূন্য।” এখানে কোলব্রুকের ইংরেজি শব্দ “cipher” ও “nought” মানে শূন্য। বিয়োগে লেখা: “শূন্য থেকে ঋণাত্মক বাদ গেলে ধনাত্মক হয়; আর ধনাত্মক বাদ গেলে ঋণাত্মক।” অর্থের ভাষায়, যা ম্যাকটিউটর ব্যবহার করে, ধনাত্মক সংখ্যা সম্পদ আর ঋণাত্মক সংখ্যা ঋণ, এবং শূন্য থেকে একটি ঋণ বাদ গেলে তা সম্পদ হয়।

তারপর গুণ: ঋণাত্মক গুণ ধনাত্মক হল ঋণাত্মক, দুটি ঋণাত্মক মিলে হয় ধনাত্মক, আর শূন্য গুণ যেকোনো কিছু হল শূন্য। ছাত্রেরা আজও একই নিয়ম শেখে; যে গ্রন্থ এগুলি বলেছে তার বয়স প্রায় ১,৪০০ বছর।

ম্যাকটিউটরের শূন্যের ইতিহাসে ব্রহ্মগুপ্ত ঋণাত্মক সংখ্যা ও শূন্য পর্যন্ত পাটিগণিত প্রসারিত করার চেষ্টা করা জানা প্রথম মানুষ। পটভূমি আসে বোডলিয়ান লাইব্রেরি থেকে, যাদের কাছে বখশালী পাণ্ডুলিপি আছে: ভূর্জপত্রের এই পাঠ জুড়ে একটি ফাঁকা স্থানের স্থানধারক হিসেবে একটি বিন্দু দেখা যায়। কার্বন-কালনির্ণয় এর প্রাচীনতম উপাদানের সময় নিয়ে গেছে তৃতীয় বা চতুর্থ শতক পর্যন্ত, যদিও পাণ্ডুলিপির বয়স নিয়ে বিতর্ক হয়েছে এবং একটি আগের গবেষণা এটিকে রেখেছিল অষ্টম থেকে দ্বাদশ শতকের মধ্যে। বোডলিয়ানের বিবরণে স্থানধারক থেকে নিজস্ব সংখ্যা হওয়ার ধাপটি ভারতে নেওয়া হয়েছিল, ৬২৮ সালে, ব্রহ্মগুপ্তের গ্রন্থে। ১২৯ বছর আগে, ৪৯৯ সালে, আর্যভট্টের শূন্য-জ্ঞান নিয়ে আছে তাঁর গণিত নিয়ে লেখাটিতে।

কথায় লেখা একটি দ্বিঘাত নিয়ম

অষ্টাদশ অধ্যায় এমন সমীকরণেরও নিয়ম দেয় যাতে একটি বর্গ, একটি অজানা ও একটি সাধারণ সংখ্যা আছে। কোলব্রুকের অনুবাদ, দ্বিঘাত সমীকরণের অংশে, বলে সাধারণ সংখ্যাটিকে বর্গের সামনের সংখ্যার চার গুণ দিয়ে গুণ করো, আর অজানার সামনের সংখ্যার বর্গ যোগ করো। ফলের বর্গমূল নাও, অজানার সামনের সংখ্যা বাদ দাও, আর বর্গের সামনের সংখ্যার দ্বিগুণ দিয়ে ভাগ করো।

আধুনিক চিহ্নে ax² + bx = c লিখলে নিয়মটি দেয় x সমান (4ac + b²)-এর বর্গমূল, বিয়োগ b, সবটা ভাগ 2a দিয়ে। x² + 2x = 3-এ পাঠক তা পরখ করতে পারেন: 16-এর বর্গমূল 4, বিয়োগ 2 হল 2, ভাগ 2 দিয়ে হল 1, তাই x হল 1। শ্লোকে শুধু ধনাত্মক উত্তরটি আসে।

কুট্টক, আর এক বছরে সমাধানের চ্যালেঞ্জ

অষ্টাদশ অধ্যায় শুরু হয় কুট্টককে, “গুঁড়ো করার পদ্ধতি”কে, প্রশ্ন সমাধানের চাবি বলে। পদ্ধতিটি এমন একটি পূর্ণসংখ্যা খোঁজে যাকে নির্দিষ্ট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে নির্দিষ্ট ভাগশেষ থাকে। কোলব্রুকের পাঠে একটি উদাহরণ আছে: কোন সংখ্যাকে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ৫, ৫ দিয়ে ভাগ করলে ৪, ৪ দিয়ে ভাগ করলে ৩ এবং ৩ দিয়ে ভাগ করলে ২ থাকে? উত্তর দেওয়া হয়েছে ৫৯। একই পদ্ধতিতে আর্যভট্টের সংক্ষিপ্ততর শ্লোকগুলি ওপরে সংযুক্ত লেখাটিতে আছে।

ব্রহ্মগুপ্ত পাঠকদের জন্য একটি সমস্যাও রেখেছেন। একটি সংখ্যা নাও, তার বর্গ করো, ৯২ দিয়ে গুণ করো, ১ যোগ করো, আর ফলকে পূর্ণবর্গ বানাও। কোলব্রুকের অনুবাদ বলে যিনি এক বছরের মধ্যে এটি সমাধান করেন, তিনি গণিতজ্ঞ। এর ক্ষুদ্রতম উত্তর ১২০, যা হাতে পরখ করা যায়: ৯২ গুণ ১২০-এর বর্গ, যোগ ১, হল ১,৩২৪,৮০১, যা ১,১৫১-এর বর্গ। ম্যাকটিউটর যোগ করে, সম্পর্কিত সমীকরণ 8x² + 1 = y²-এর সমাধানের একটি ধারা তিনি পেয়েছিলেন, তার মধ্যে (1, 3), (6, 17) ও (35, 99)।

ক্ষেত্রফল, বৃত্ত আর চতুর্ভুজের ক্ষেত্র

পাটিগণিতের অধ্যায়ে ত্রিভুজ বা চতুর্ভুজের “সঠিক” ক্ষেত্রফলের একটি সূত্র আছে। কোলব্রুক অনুবাদ করেছেন: বাহুগুলির যোগফলের অর্ধেক চার বার লিখে প্রতিটি থেকে একটি করে বাহু বাদ দিয়ে গুণ করো, আর “গুণফলের বর্গমূলই সঠিক ক্ষেত্রফল।” ত্রিভুজে চারটি বাদ-দেওয়া সংখ্যার একটি অর্ধযোগফল নিজেই থেকে যায়, কোলব্রুক লক্ষ করেন। তাঁর টীকা ১৪, ১৩ ও ১৫ বাহুর একটি ত্রিভুজ করে দেখায়: অর্ধযোগফল ২১, চারটি সংখ্যা ৭, ৮, ৬ ও ২১, তাদের গুণফল ৭,০৫৬, আর তার বর্গমূল ৮৪।

ম্যাকটিউটর একই নিয়মকে বর্ণনা করে এমন চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হিসেবে যার কোণগুলি একটি বৃত্তের ওপর, সঙ্গে তার কর্ণের একটি অনুরূপ সূত্র। সে যোগ করে, ব্রহ্মগুপ্ত বলেননি যে সূত্রটি শুধু এমন চতুর্ভুজের জন্য। কিছু ঐতিহাসিক এটিকে ভুল ধরেন, ম্যাকটিউটর বলে, আর অন্যরা পড়েন যে তিনি কেবল ওই ক্ষেত্রটিই বুঝিয়েছেন।

কোলব্রুকের অনুবাদে বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফলের জন্য দুটি করে মান দেওয়া আছে। তিন দিয়ে গুণ করলে “ব্যবহারিক” মান আসে; দশ গুণ বর্গের বর্গমূল দেয় “সূক্ষ্ম” মান। পরিধিতে প্রয়োগ করলে তার অর্থ, ব্যাস গুণ দশের বর্গমূল, ব্যাসের প্রায় 3.16 গুণ।

পাটিগণিতের অধ্যায় ভরে আছে প্রতিদিনের সমস্যায়ও। ম্যাকটিউটরের উদ্ধৃত একটি অজানা সুদের হারে ধার দেওয়া ৫০০ দ্রম্মের। তার চার মাসের সুদ একই হারে আরেকজনকে ধার দেওয়া হয় এবং দশ মাসে তা ৭৮ দ্রম্ম হয়; পাঠককে হারটি বের করতে হবে।

আর্যভট্টের সমালোচক, আর যে একটি জায়গায় তিনি নীরব

ব্রহ্মগুপ্তের একাদশ অধ্যায় আগের জ্যোতির্বিদদের সমালোচনা করে, প্রধানত আর্যভট্টকে। ডব্লিউ. ই. ক্লার্কের বিবরণে ব্রহ্মগুপ্ত আর্যভট্টের উল্লেখ করেন প্রায় ষাট বার, আর কঠোরতম সমালোচনার বেশির ভাগ সেই বিন্দুগুলিতে যেখানে আর্যভট্ট ঐতিহ্য থেকে সরে গিয়েছিলেন। ক্লার্ক যোগ করেন, আর্যভট্টের গণিত-অংশের কোনো শ্লোক উদ্ধৃত বা সমালোচিত হয়নি, এই নীরবতার অর্থ হতে পারে, তিনি ইঙ্গিত দেন, ব্রহ্মগুপ্ত আপত্তির কিছু পাননি।

জ্যোতির্বিদ্যায়, ম্যাকটিউটর বলে, ব্রহ্মগুপ্ত বিশ্বাস করতেন পৃথিবী স্থির, এবং প্রথম গ্রন্থে বছরের দৈর্ঘ্য দিয়েছিলেন ৩৬৫ দিন ৬ ঘণ্টা ৫ মিনিট ১৯ সেকেন্ড। খণ্ডখাদ্যক-এ তিনি সরে যান ৩৬৫ দিন ৬ ঘণ্টা ১২ মিনিট ৩৬ সেকেন্ডে, যাকে ম্যাকটিউটর উন্নতি বলে গণ্য করে না। স্প্রিঙ্গার যোগ করে, সেই পরের গ্রন্থের প্রথম অংশে তিনি অনুসরণ করেছিলেন অর্ধরাত্রিক সম্প্রদায়কে, যাকে সে বলে প্রথম আর্যভট্ট প্রতিষ্ঠা করেন। পৃথিবীর ঘূর্ণন প্রশ্নে দেখুন আর্যভট্ট নিয়ে আগের লেখা।

উজ্জয়িনী থেকে বাগদাদ

ম্যাকটিউটরের ভারতীয় গণিতের সংক্ষিপ্ত বিবরণে ব্রহ্মগুপ্ত উজ্জয়িনী ঘরানার পরবর্তী বড় ব্যক্তিত্ব, ঋণাত্মক সংখ্যা ও শূন্য নিয়ে কাজের মাধ্যমে সংখ্যা-ব্যবস্থায় একটি বড় অবদান নিয়ে। স্প্রিঙ্গার বলে, তাঁর জ্যোতির্বিদ্যা আরবে পৌঁছায় অষ্টম শতকের শেষার্ধে।

এম. এস. খান, ১৯৮৭ সালের আন্তর্জাতিক জ্যোতির্বিজ্ঞান সংঘের একটি কলোকিয়ামের প্রবন্ধে, জানান আল-বিরুনি লিখে রেখেছিলেন ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত অনূদিত হয়েছিল বাগদাদের খলিফা আল-মনসুরের আদেশে, ইসলামি সনের ১৫৪ বা ১৫৬ সালে, যা পড়ে ৭৭০ থেকে ৭৭৩ খ্রিস্টাব্দের মধ্যে। ওই আরবি সংস্করণের নাম ছিল মহা সিন্ধহিন্দ। কোলব্রুক, ৯২০ সালে প্রকাশিত আরবি জ্যোতির্বিদ্যা-সারণির ভূমিকার উল্লেখ করে, জানান যে একজন ভারতীয় জ্যোতির্বিদ ইসলামি সনের ১৫৬ সালে (৭৭৩ খ্রিস্টাব্দ) আল-মনসুরের দরবারে সারণি নিয়ে আসেন এবং মুহাম্মদ আল-ফাজারি বইটিকে মহত্তর সিন্ধহিন্দ নামে অনুবাদ করেন। ওই নামের সঙ্গে সংস্কৃত সিদ্ধান্ত-র সম্পর্ক একটি অনুমান, কোলব্রুক বলেন।

ম্যাকটিউটরের আল-খোয়ারিজমির জীবনী অনুযায়ী তাঁর নিজের সিন্ধহিন্দ জিজ (জ্যোতির্বিদ্যার সারণি-গ্রন্থ)-এর পেছনের ভারতীয় পাঠ বাগদাদ দরবারে পৌঁছায় আনুমানিক ৭৭০ সালে, ভারতীয় এক রাজনৈতিক দূতদলের উপহার হিসেবে। হিন্দু গণনাপদ্ধতি নিয়ে তাঁর রচনা, ম্যাকটিউটরের শূন্যের ইতিহাস যোগ করে, আজকের ইরাকে শূন্যকে স্থানধারক হিসেবে ব্যবহারে প্রথম।

পরবর্তী ভারতীয় গণিতজ্ঞেরা ব্রহ্মগুপ্তের খোলা প্রশ্ন, শূন্য দিয়ে ভাগ, নিয়ে কাজ করে গেছেন। তাঁর নিয়মে তিনি লিখেছিলেন শূন্যকে শূন্য দিয়ে ভাগ করলে শূন্য, যাকে ম্যাকটিউটর ভুল বিচার করে, যদিও পুরো প্রচেষ্টাকে বলে পাটিগণিত প্রসারের এক উজ্জ্বল চেষ্টা। প্রায় ৮৩০ সালে মহাবীর গণিতসারসংগ্রহ লেখেন ব্রহ্মগুপ্তের বইয়ের হালনাগাদ হিসেবে, আর ব্রহ্মগুপ্তের ৫০০ বছরেরও বেশি পরে ভাস্কর তখনও একই সমস্যা নিয়ে কাজ করছিলেন।

ম্যাকটিউটরের শূন্যের ইতিহাসে লেখা আছে, ফিবোনাচ্চি আনুমানিক ১২০০ সালে Liber Abaci-তে ভারতীয় নয়টি অঙ্ককে 0 চিহ্নের সঙ্গে বর্ণনা করেন, 0-কে বলেন একটি চিহ্ন আর বাকি নয়টিকে সংখ্যা।