கிபி 628இல் பிரம்மகுப்தர் பூஜ்ஜியத்துக்கும் எதிர்மறை எண்களுக்குமான விதிகளையும், ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டுத் தீர்வையும், நான்கு பக்க வடிவத்தின் பரப்புச் சூத்திரத்தையும் எழுதி வைத்தார்

பிரம்மகுப்தரின் பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தம், கிபி 628இல் நிறைவடைந்தது, பூஜ்ஜியமும் எதிர்மறை எண்களும் கூட்டப்படும்போதும், கழிக்கப்படும்போதும், பெருக்கப்படும்போதும் எப்படி நடந்துகொள்கின்றன என்பதை விவரிக்கிறது. பூஜ்ஜியத்தை ஓர் எண்ணாக விவாதிக்கும் முதல் ஆவணம் இது என்று ஆக்ஸ்போர்டின் பாட்லியன் நூலகங்கள் அழைக்கின்றன; அதை எழுதியபோது அதன் ஆசிரியருக்கு ஏறத்தாழ 30 வயது என்று வானியலாளர்கள் பற்றிய ஸ்பிரிங்கர் குறிப்புநூல் கூறுகிறது.

அந்த விதிகள், செய்யுளில் எழுதப்பட்ட ஒரு வானியல் நூலுக்குள், இயற்கணிதம் பற்றிய அத்தியாயத்தில் உள்ளன; அதே அத்தியாயத்தில் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் ஒரு வழியும், வாசகர்களுக்கான ஒரு சவால் கணக்கும் உள்ளன. இந்தக் கட்டுரை கணிதத்தைப் பற்றியது. தசம முறையும் பூஜ்ஜியக் குறியும் நூற்றாண்டுகளில் எப்படி வளர்ந்தன என்பது இந்தியாவும் பூஜ்ஜியமும் பற்றிய கட்டுரையில் உள்ளது.

பில்லமாலாவில் ஏறத்தாழ 30 வயதில் முடிக்கப்பட்ட நூல்

செயின்ட் ஆண்ட்ரூஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் கணித வரலாற்றுக் காப்பகமான மேக்டுடரும், ஸ்பிரிங்கரின் வானியலாளர்களின் வாழ்க்கை வரலாற்று என்சைக்ளோபீடியாவும், பிரம்மகுப்தர் பிறந்த ஆண்டாக 598ஐத் தருகின்றன. இடத்தில் அவை வேறுபடுகின்றன: மேக்டுடருக்கு உஜ்ஜைன் ஒரு சாத்தியம், ஸ்பிரிங்கரில் பில்லமாலா என்பது பதில். எப்படியிருந்தாலும், பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தத்தை அவர் பில்லமாலாவில் எழுதினார்; அது இப்போது ராஜஸ்தானின் தென்மேற்கில் உள்ள பின்மால் நகரம், மேக்டுடரின் விவரிப்பில் குர்ஜர வம்சம் ஆண்ட நிலங்களின் தலைநகரம். அவரது தந்தை ஜிஷ்ணுகுப்தர்.

628க்கு ஒரு பழைய சாட்சியம், ஆங்கில அறிஞர் ஹென்றி கோல்ப்ரூக்கின் 1817 அறிமுகத்தில் வருகிறது. ஒரு பிரிட்டிஷ் தூதுக்குழுவுடன் உஜ்ஜைனில் தங்கியிருந்த வில்லியம் ஹண்டரிடம், பிரம்மகுப்தர் சக ஆண்டு 550க்கு உரியவர் என்று உஜ்ஜைன் வானியலாளர்கள் சொன்னார்கள்; அதை கோல்ப்ரூக் கிபி 628 ஆக மாற்றுகிறார். அவர்களின் காரணங்கள் பதிவு செய்யப்படவில்லை என்றும் அவர் சேர்க்கிறார்.

பின்னர் அவர் உஜ்ஜைனின் வானியல் ஆய்வகத்துக்குத் தலைமை தாங்கினார்; அதை அன்றைய பண்டைய இந்தியாவின் முன்னணி கணித மையம் என்று மேக்டுடர் அழைக்கிறது. இரண்டாவது நூலான கண்டகாத்யகம் 665இல், அவருக்கு 67 வயதானபோது தொடர்ந்தது என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது. அவரது இறப்பைப் பொறுத்தவரை மேக்டுடர் 670 என்கிறது, ஸ்பிரிங்கர் “665க்குப் பின்” என்று மட்டுமே சொல்கிறது.

இருபத்தைந்து அத்தியாயங்கள், அவற்றில் இரண்டு கணிதம்

பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தத்தில் மேக்டுடரின் கணக்கில் 25 அத்தியாயங்களும், ஸ்பிரிங்கரின் கணக்கில் 24 அத்தியாயங்களும் உள்ளன; சில பதிப்புகள் செய்யுள் அட்டவணைகளின் ஓர் அத்தியாயத்தைச் சேர்க்கின்றன என்று ஸ்பிரிங்கர் குறிப்பிடுகிறது; மேக்டுடரின் பட்டியலில் அந்த அட்டவணைகள் உள்ளன. முதல் பத்து அத்தியாயங்கள் ஒரு முந்தைய வடிவம் என்றும், மற்ற பதினைந்து இயற்கணிதம், நிழற்குச்சி (நிழல்களை அளக்கப் பயன்படும் செங்குத்துக் கம்பு), கோளம், கருவிகள் போன்ற தலைப்புகளை உள்ளடக்கிய ஒரு பெரிய சேர்க்கை என்றும் பல வரலாற்றாசிரியர்கள் கருதுகின்றனர் என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது. பிரம்மாவுக்கு உரியதாகக் கூறப்படும் ஒரு முந்தைய வானியல் அமைப்பின் மேம்படுத்தப்பட்ட வடிவம் என்று பிரம்மகுப்தர் இந்நூலை விவரிக்கிறார் என்று ஸ்பிரிங்கர் தெரிவிக்கிறது.

எண்கணிதம் பற்றிய அத்தியாயம் 12உம், இயற்கணிதம் பற்றிய அத்தியாயம் 18உம் கணிதத்தைக் கொண்டுள்ளன. ஆங்கில வாசகர்கள் இரண்டையும் கோல்ப்ரூக்கிடமிருந்து பெற்றனர்; அவர் அவற்றைப் பிந்தைய உரையுடன் மொழிபெயர்த்து 1817இல் லண்டனில் வெளியிட்டார். இயற்கணிதம் பற்றிய அரபு நூல்களைவிட பிரம்மகுப்தரின் அத்தியாயங்கள் பழமையானவை என்று தன் அறிமுகத்தில் அவர் வாதிடுகிறார்.

பூஜ்ஜியத்தைப் பற்றி நூல் சொல்வது

நூலைப் பற்றிய மேக்டுடரின் விவரிப்பில், ஓர் எண்ணிலிருந்து அதே எண்ணைக் கழிப்பதன் விளைவே பூஜ்ஜியம் என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதற்கான பிரம்மகுப்தரின் விதிகள் இயற்கணித அத்தியாயத்தில், கோல்ப்ரூக் “அல்காரிதம்” என்று தலைப்பிடும் ஒரு பிரிவில் வருகின்றன; கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தலை உள்ளடக்குகின்றன.

கூட்டலுக்கு கோல்ப்ரூக்கின் மொழிபெயர்ப்பு இப்படி வாசிக்கிறது: “சைஃபருக்கும் எதிர்மறைக்கும் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறை; நேர்மறைக்கும் நாட்டுக்கும் நேர்மறை; இரண்டு சைஃபர்களுக்கு சைஃபர்.” இங்கே “சைஃபர்”, “நாட்” இரண்டும் பூஜ்ஜியத்தைக் குறிக்கின்றன. கழித்தல் இப்படி: “எதிர்மறையை சைஃபரிலிருந்து எடுத்தால் அது நேர்மறையாகிறது; நேர்மறை எதிர்மறையாகிறது.” மேக்டுடர் பயன்படுத்தும் பணத்தின் மொழியில், நேர்மறை எண்கள் சொத்துகள், எதிர்மறை எண்கள் கடன்கள்; பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒரு கடனைக் கழித்தால் அது ஒரு சொத்து.

அடுத்து பெருக்கல்: ஒரு எதிர்மறையை ஒரு நேர்மறையால் பெருக்கினால் எதிர்மறை, இரண்டு எதிர்மறைகளைப் பெருக்கினால் நேர்மறை, எதனுடனும் பூஜ்ஜியத்தைப் பெருக்கினால் பூஜ்ஜியம். அதே விதிகளை மாணவர்கள் இன்றும் கற்கின்றனர்; அவற்றைக் கூறும் நூல் கிட்டத்தட்ட 1,400 ஆண்டுகள் பழமையானது.

எதிர்மறை எண்களுக்கும் பூஜ்ஜியத்துக்கும் எண்கணிதத்தை விரிவாக்க முயன்ற முதல் மனிதர் பிரம்மகுப்தர் என்று மேக்டுடரின் பூஜ்ஜிய வரலாறு கூறுகிறது. பின்னணியை பக்ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதியை வைத்திருக்கும் பாட்லியன் நூலகங்கள் தருகின்றன: அந்த பூர்ஜ மரப்பட்டை நூல் முழுவதும் வெற்று இடத்துக்கான இடம் நிரப்பியாக ஒரு புள்ளி வருகிறது. கார்பன் காலக் கணிப்பு அதன் மிகப் பழைய பொருளை மூன்றாம் அல்லது நான்காம் நூற்றாண்டு வரை பின்னோக்கிக் கொண்டு சென்றது; ஆனால் கையெழுத்துப் பிரதியின் வயது விவாதத்தில் இருந்துள்ளது, முந்தைய ஆய்வு அதை எட்டாம் நூற்றாண்டுக்கும் பன்னிரண்டாம் நூற்றாண்டுக்கும் இடையில் வைத்தது. பாட்லியனின் விவரிப்பில், இடம் நிரப்பியிலிருந்து தனக்கென ஓர் எண்ணாக மாறும் அடி இந்தியாவில், 628இல், பிரம்மகுப்தரின் நூலில் எடுத்துவைக்கப்பட்டது. 129 ஆண்டுகளுக்கு முன், 499இல், ஆர்யபட்டருக்கு இருந்த பூஜ்ஜியம் பற்றிய அறிவு அவரது கணிதம் பற்றிய கட்டுரையில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

சொற்களில் எழுதப்பட்ட இருபடி விதி

ஒரு வர்க்கம், ஒரு தெரியாத எண், ஒரு சாதாரண எண் ஆகியவற்றைக் கொண்ட சமன்பாடுகளுக்கும் அத்தியாயம் 18 ஒரு விதியைத் தருகிறது. இருபடிச் சமன்பாடு பற்றிய பிரிவில் கோல்ப்ரூக்கின் மொழிபெயர்ப்பு சொல்வது: சாதாரண எண்ணை, வர்க்கத்தின் முன்னுள்ள எண்ணின் நான்கு மடங்கால் பெருக்கி, தெரியாத எண்ணின் முன்னுள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கூட்டுக. விளைவின் வர்க்கமூலத்தை எடுத்து, தெரியாத எண்ணின் முன்னுள்ள எண்ணைக் கழித்து, வர்க்கத்தின் முன்னுள்ள எண்ணின் இரு மடங்கால் வகுக்க.

நவீனக் குறியீடுகளில் ax² + bx = c என்று எழுதினால், விதி x என்பதை (4ac + b²) இன் வர்க்கமூலத்தில் b ஐக் கழித்து, முழுவதையும் 2a ஆல் வகுத்த மதிப்புக்குச் சமமாகத் தருகிறது. x² + 2x = 3 இல் வாசகர் அதைச் சோதிக்கலாம்: 16இன் வர்க்கமூலம் 4, அதிலிருந்து 2ஐக் கழித்தால் 2, அதை 2ஆல் வகுத்தால் 1; எனவே x என்பது 1. செய்யுளில் நேர்மறை விடை மட்டுமே வருகிறது.

தூளாக்கியும், ஓர் ஆண்டுக்குள் தீர்க்க வேண்டிய சவாலும்

கேள்விகளைத் தீர்க்கும் திறவுகோல் தூளாக்கி (குட்டகம்) என்று அழைத்தபடி அத்தியாயம் 18 தொடங்குகிறது. கொடுக்கப்பட்ட எண்களால் வகுக்கும்போது கொடுக்கப்பட்ட மீதிகளை விடும் ஒரு முழு எண்ணை இந்த முறை காண்கிறது. கோல்ப்ரூக்கின் உரை ஓர் எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்கிறது: 6ஆல் வகுத்தால் 5ஐயும், 5ஆல் வகுத்தால் 4ஐயும், 4ஆல் வகுத்தால் 3ஐயும், 3ஆல் வகுத்தால் 2ஐயும் விடும் எண் எது? விடையாக அது 59ஐத் தருகிறது. அதே முறையைப் பற்றிய ஆர்யபட்டரின் சுருக்கமான செய்யுள்கள் மேலே இணைக்கப்பட்ட கட்டுரையில் உள்ளன.

பிரம்மகுப்தர் தன் வாசகர்களுக்கு ஒரு கணக்கையும் வைத்தார். ஓர் எண்ணை வர்க்கமாக்கி, 92ஆல் பெருக்கி, ஒன்றைக் கூட்டி, விளைவை முழு வர்க்கமாக்குக. அதை ஓர் ஆண்டுக்குள் தீர்ப்பவர் கணிதவியலாளர் என்று கோல்ப்ரூக்கின் மொழிபெயர்ப்பு கூறுகிறது. அதன் சிறிய விடை 120; அதைக் கையால் சரிபார்க்கலாம்: 120இன் வர்க்கத்தை 92ஆல் பெருக்கி 1ஐக் கூட்டினால் 1,324,801, அது 1,151இன் வர்க்கம். தொடர்புடைய சமன்பாடு 8x² + 1 = y² க்கு அவர் தீர்வுகளின் ஒரு தொடரைக் கண்டார் என்று மேக்டுடர் சேர்க்கிறது; அவற்றில் (1, 3), (6, 17), (35, 99).

பரப்புகள், வட்டங்கள், நாற்கரத்தின் வழக்கு

முக்கோணம் அல்லது நான்கு பக்க வடிவத்தின் “துல்லியமான” பரப்புக்கு எண்கணித அத்தியாயம் ஒரு சூத்திரத்தைத் தருகிறது. கோல்ப்ரூக் அதை இப்படி மொழிபெயர்க்கிறார்: பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் பாதியை நான்கு முறை எழுதி, ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒரு பக்கத்தைக் குறைத்து, பெருக்குக; “பெருக்கற்பலனின் வர்க்கமூலம் துல்லியமான பரப்பு.” முக்கோணத்தில், குறைக்கப்பட்ட நான்கு எண்களில் ஒன்று அரைக்கூட்டுத்தொகையாகவே விடப்படுகிறது என்று கோல்ப்ரூக் குறிப்பிடுகிறார். அவரது விளக்கவுரை 14, 13, 15 பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தைத் தீர்க்கிறது: அரைக்கூட்டுத்தொகை 21, நான்கு எண்கள் 7, 8, 6, 21, அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 7,056, அதன் மூலம் 84.

அதே விதியை மூலைகள் ஒரு வட்டத்தின் மேல் அமைந்த நான்கு பக்க வடிவத்தின் பரப்புக்கான சூத்திரமாக மேக்டுடர் விவரிக்கிறது; அதன் மூலைவிட்டங்களுக்கும் பொருந்தும் சூத்திரம் உண்டு. அந்தச் சூத்திரம் அத்தகைய வடிவங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும் என்று பிரம்மகுப்தர் சொல்லவில்லை என்றும் அது சேர்க்கிறது. சில வரலாற்றாசிரியர்கள் அதை ஒரு பிழையாகக் கருதுகின்றனர், மற்றவர்கள் அந்த நிகழ்வை மட்டுமே அவர் குறிக்கிறார் என்று வாசிக்கின்றனர் என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது.

வட்டங்களுக்கு கோல்ப்ரூக்கின் மொழிபெயர்ப்பில் சுற்றளவுக்கும் பரப்புக்கும் தலா இரண்டு மதிப்புகள் உள்ளன. மூன்றால் பெருக்கினால் “நடைமுறை” மதிப்பு கிடைக்கும்; வர்க்கத்தின் பத்து மடங்கின் வர்க்கமூலம் “நேர்த்தியான” மதிப்பைத் தருகிறது. சுற்றளவுக்குப் பயன்படுத்தினால், அது விட்டம் மடங்கு பத்தின் வர்க்கமூலம், அதாவது விட்டத்தின் ஏறத்தாழ 3.16 மடங்கு.

அன்றாடக் கணக்குகளும் எண்கணித அத்தியாயத்தை நிரப்புகின்றன. மேக்டுடர் மேற்கோள் காட்டும் ஒன்று, தெரியாத வட்டி வீதத்தில் கடனாகக் கொடுத்த 500 திரம்மங்களைப் பற்றியது. அதன் நான்கு மாத வட்டி அதே வீதத்தில் இன்னொருவருக்குக் கடனாகத் தரப்பட்டு, பத்து மாதங்களில் 78 திரம்மங்கள் ஆகிறது; வாசகர் வீதத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

ஆர்யபட்டரின் விமர்சகர், அவர் மௌனமாக இருக்கும் ஓர் இடம்

பிரம்மகுப்தரின் பதினோராம் அத்தியாயம் முந்தைய வானியலாளர்களை, பெரும்பாலும் ஆர்யபட்டரை, விமர்சிக்கிறது. டபிள்யூ. இ. கிளார்க்கின் விவரிப்பில், பிரம்மகுப்தர் ஆர்யபட்டரை ஏறத்தாழ அறுபது முறை குறிப்பிடுகிறார்; கடுமையான விமர்சனங்களில் பெரும்பாலானவை ஆர்யபட்டர் மரபிலிருந்து விலகிய இடங்களைப் பற்றியவை. ஆர்யபட்டரின் கணிதப் பகுதியிலிருந்து எந்தச் செய்யுளும் மேற்கோள் காட்டப்படவோ விமர்சிக்கப்படவோ இல்லை என்று கிளார்க் சேர்க்கிறார்; ஆட்சேபிக்க பிரம்மகுப்தர் எதையும் காணவில்லை என்பதை அந்த மௌனம் குறிக்கலாம் என்று அவர் கருதுகிறார்.

வானியலைப் பொறுத்தவரை, பிரம்மகுப்தர் அசையாத பூமியை நம்பினார் என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது; முதல் நூலில் ஆண்டின் நீளத்தை 365 நாட்கள் 6 மணி 5 நிமிடம் 19 வினாடிகள் எனத் தந்தார். கண்டகாத்யகத்தில் அவர் 365 நாட்கள் 6 மணி 12 நிமிடம் 36 வினாடிகளுக்கு மாறினார்; அதை ஒரு முன்னேற்றமாக மேக்டுடர் கருதவில்லை. அந்தப் பிந்தைய நூலின் முதல் பகுதியில், முதலாம் ஆர்யபட்டர் நிறுவியதாக ஸ்பிரிங்கர் சொல்லும் அர்தராத்ரிகப் பள்ளியை அவர் பின்பற்றினார் என்றும் அது சேர்க்கிறது. பூமியின் சுழற்சி பற்றிய கேள்விக்கு ஆர்யபட்டர் பற்றிய முந்தைய கட்டுரையைப் பாருங்கள்.

உஜ்ஜைனிலிருந்து பாக்தாத் வரை

இந்தியக் கணிதம் பற்றிய மேக்டுடரின் மேலோட்டத்தில், உஜ்ஜைன் பள்ளியில் பிரம்மகுப்தர் அடுத்த முக்கிய ஆளுமை; எதிர்மறை எண்கள், பூஜ்ஜியம் பற்றிய அவரது பணி மூலம் எண் முறைகளுக்கான முக்கிய பங்களிப்புகளில் ஒன்றைச் செய்தவர். அவரது வானியல் எட்டாம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் அரேபியாவை அடைந்தது என்கிறது ஸ்பிரிங்கர்.

1987 சர்வதேச வானியல் ஒன்றியக் கருத்தரங்குக்கான ஒரு கட்டுரையில் எம். எஸ். கான், பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தம் பாக்தாத் கலீஃபா அல்-மன்சூரின் உத்தரவின் பேரில், இஸ்லாமிய நாட்காட்டியின் 154 அல்லது 156ஆம் ஆண்டில், அதாவது கிபி 770க்கும் 773க்கும் இடையில், மொழிபெயர்க்கப்பட்டதாக அல்-பிரூனி பதிவு செய்தார் என்று தெரிவிக்கிறார். அந்த அரபிப் பதிப்பு பெரிய சிந்தஹிந்த் என்று அழைக்கப்பட்டது. 920இல் வெளியான அரபு வானியல் அட்டவணைகளின் முன்னுரையை மேற்கோள் காட்டி, இஸ்லாமிய நாட்காட்டியின் 156ஆம் ஆண்டில் (கிபி 773) ஓர் இந்திய வானியலாளர் அல்-மன்சூரின் அவைக்கு அட்டவணைகளைக் கொண்டுவந்தார் என்றும், முகம்மது அல்-ஃபசாரி அந்த நூலை பெரிய சிந்தஹிந்த் என்று மொழிபெயர்த்தார் என்றும் கோல்ப்ரூக் தெரிவிக்கிறார். அந்தப் பெயருக்கும் சமஸ்கிருத சித்தாந்தத்துக்கும் உள்ள தொடர்பு ஒரு ஊகம் என்று கோல்ப்ரூக் கூறுகிறார்.

அல்-குவாரிஸ்மியைப் பற்றிய மேக்டுடரின் வாழ்க்கை வரலாற்றின்படி, அவரது சொந்த சிந்தஹிந்த் ஸீஜ் (வானியல் அட்டவணை நூல்) பின்னால் இருந்த இந்திய நூல், ஓர் இந்திய அரசியல் தூதுக்குழுவின் பரிசாக ஏறத்தாழ 770இல் பாக்தாத் அவையை அடைந்தது. இந்துக் கணக்கீட்டுக் கலை பற்றிய அவரது நூல், இன்றைய ஈராக்கில் பூஜ்ஜியத்தை இடம் நிரப்பியாகப் பயன்படுத்திய முதல் நூல் என்று மேக்டுடரின் பூஜ்ஜிய வரலாறு சேர்க்கிறது.

பிற்கால இந்தியக் கணிதவியலாளர்கள் பிரம்மகுப்தரின் திறந்த கேள்வியான பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் மீது தொடர்ந்து பணியாற்றினர். தன் விதிகளில் பூஜ்ஜியத்தை பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் பூஜ்ஜியம் என்று அவர் எழுதினார்; அது தவறு என்று மேக்டுடர் மதிப்பிடுகிறது, அதே நேரத்தில் முழு முயற்சியையும் எண்கணிதத்தை விரிவாக்கும் ஒரு புத்திசாலித்தனமான முயற்சி என்று அழைக்கிறது. ஏறத்தாழ 830இல் மகாவீரர் கணித சார சங்கிரகத்தை பிரம்மகுப்தரின் நூலின் புதுப்பிப்பாக எழுதினார்; பிரம்மகுப்தருக்கு 500 ஆண்டுகளுக்கு மேல் கழித்தும் பாஸ்கரர் அதே சிக்கலில் பணியாற்றிக்கொண்டிருந்தார்.

ஏறத்தாழ 1200இல் லிபெர் அபாசி நூலில் ஃபிபோனாச்சி ஒன்பது இந்திய இலக்கங்களை 0 என்ற குறியுடன் சேர்த்து விவரித்தார், 0வை ஒரு குறி என்றும் மற்ற ஒன்பது குறியீடுகளை எண்கள் என்றும் அழைத்தார் என்று மேக்டுடரின் பூஜ்ஜிய வரலாறு பதிவு செய்கிறது.