628 ई. में ब्रह्मगुप्त ने शून्य और ऋण संख्याओं के नियम, एक द्विघात हल और चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र लिख डाले

ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धांत, जो 628 ई. में पूरा हुआ, बताता है कि शून्य और ऋण संख्याएँ जोड़ने, घटाने और गुणा करने पर कैसे बर्ताव करती हैं। ऑक्सफ़ोर्ड के बोडलियन पुस्तकालय इसे शून्य को संख्या के रूप में चर्चित करने वाला पहला दस्तावेज़ कहते हैं, और खगोलविदों पर स्प्रिंगर का एक संदर्भ-ग्रंथ कहता है कि इसे लिखते समय इसके रचयिता लगभग 30 वर्ष के थे।

ये नियम खगोल की एक पुस्तक के भीतर हैं, जो पद्य में लिखी गई है, बीजगणित के एक अध्याय में, जिसमें द्विघात समीकरण हल करने की एक विधि और पाठकों के लिए एक चुनौती-प्रश्न भी है। यह लेख गणित पर है। दशमलव प्रणाली और शून्य के चिह्न का सदियों में विकास भारत और शून्य वाले लेख में है।

लगभग 30 की उम्र में पूरा हुआ ग्रंथ, भिल्लमाल में

मैकट्यूटर, यानी सेंट एंड्रयूज़ विश्वविद्यालय का गणित-इतिहास संग्रह, और स्प्रिंगर का बायोग्राफ़िकल एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ एस्ट्रोनॉमर्स, दोनों ब्रह्मगुप्त के जन्म का वर्ष 598 देते हैं। जन्म-स्थान पर वे अलग हैं: मैकट्यूटर के लिए उज्जैन एक संभावना है, स्प्रिंगर में भिल्लमाल उत्तर है। जो भी हो, उन्होंने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत भिल्लमाल में लिखा, जो अब राजस्थान के दक्षिण-पश्चिम में भीनमाल कस्बा है और, मैकट्यूटर के वर्णन में, गुर्जर वंश के शासित प्रदेशों की राजधानी था। उनके पिता जिष्णुगुप्त थे।

628 का एक और पुराना गवाह अंग्रेज़ विद्वान हेनरी कोलब्रुक की 1817 की भूमिका में मिलता है। उज्जैन के खगोलविदों ने विलियम हंटर को, जो एक ब्रिटिश दूतावास के साथ वहाँ ठहरे थे, बताया कि ब्रह्मगुप्त शक वर्ष 550 के थे, जिसे कोलब्रुक 628 ई. में बदलते हैं। उनके आधार, वे जोड़ते हैं, दर्ज नहीं किए गए।

बाद में वे उज्जैन की खगोलीय वेधशाला के प्रमुख बने, जिसे मैकट्यूटर उस समय प्राचीन भारत का अग्रणी गणितीय केंद्र कहता है। दूसरी रचना, खण्डखाद्यक, 665 में आई, जब वे 67 वर्ष के थे, मैकट्यूटर कहता है। उनकी मृत्यु के बारे में मैकट्यूटर 670 देता है, जबकि स्प्रिंगर केवल “665 के बाद” कहता है।

पच्चीस अध्याय, उनमें दो गणित के

ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में मैकट्यूटर की गिनती में 25 अध्याय हैं और स्प्रिंगर की गिनती में 24, जो नोट करता है कि कुछ संस्करण पद्य-सारणियों का एक अध्याय जोड़ते हैं; मैकट्यूटर की सूची में वे सारणियाँ शामिल हैं। मैकट्यूटर कहता है कि कई इतिहासकार मानते हैं कि पहले दस अध्याय पहले का एक संस्करण थे, और बाक़ी पंद्रह एक बड़ा जोड़ हैं, जिनमें बीजगणित, शंकु (छाया नापने की खड़ी छड़ी), गोल और यंत्र जैसे विषय हैं। स्प्रिंगर बताता है कि ब्रह्मगुप्त इस रचना को ब्रह्मा से जोड़ी जाने वाली एक पहले की खगोलीय पद्धति का सुधरा हुआ रूप कहते हैं।

अंकगणित का अध्याय 12 और बीजगणित का अध्याय 18 गणित धारण करते हैं। अंग्रेज़ी पाठकों को दोनों कोलब्रुक से मिले, जिन्होंने उन्हें बाद की टीका के साथ अनूदित किया और 1817 में लंदन में छापा। वे अपनी भूमिका में तर्क देते हैं कि ब्रह्मगुप्त के अध्याय बीजगणित पर अरबी रचनाओं से पुराने हैं।

शून्य के बारे में ग्रंथ क्या कहता है

मैकट्यूटर के ग्रंथ-वर्णन में शून्य को किसी संख्या में से स्वयं उसे घटाने के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया है। उसके लिए ब्रह्मगुप्त के नियम बीजगणित के अध्याय में आते हैं, एक खंड में जिसे कोलब्रुक “Algorithm” शीर्षक देते हैं, और जोड़, घटाव, गुणा और भाग को समेटते हैं।

जोड़ के लिए कोलब्रुक का अनुवाद है: “शून्य और ऋण का योग ऋण होता है; धन और शून्य का योग धन होता है; दो शून्यों का योग शून्य होता है।” यहाँ अनुवाद के “cipher” और “nought” का अर्थ शून्य है। घटाव यों है: “ऋण को शून्य में से घटाने पर वह धन हो जाता है; और धन ऋण हो जाता है।” धन की उस भाषा में जो मैकट्यूटर इस्तेमाल करता है, धन संख्याएँ संपत्ति हैं और ऋण संख्याएँ क़र्ज़, और शून्य में से घटाया गया क़र्ज़ एक संपत्ति है।

अब गुणा आता है: ऋण गुणा धन ऋण होता है, दो ऋण मिलकर धन बनाते हैं, और शून्य गुणा किसी भी चीज़ शून्य होता है। विद्यार्थी आज भी यही नियम सीखते हैं; उन्हें कहने वाला ग्रंथ लगभग 1,400 वर्ष पुराना है।

मैकट्यूटर के शून्य के इतिहास में ब्रह्मगुप्त वे पहले ज्ञात व्यक्ति हैं जिन्होंने अंकगणित को ऋण संख्याओं और शून्य तक बढ़ाने की कोशिश की। पृष्ठभूमि बोडलियन पुस्तकालयों से आती है, जिनके पास बख़्शाली पांडुलिपि है: उस भोजपत्र के पाठ में खाली स्थान के लिए स्थानधारक के रूप में प्रयुक्त एक बिंदु पूरे में दिखता है। कार्बन डेटिंग ने उसकी सबसे पुरानी सामग्री को तीसरी या चौथी सदी तक पुराना बताया, हालाँकि पांडुलिपि की आयु पर बहस रही है और एक पहले के अध्ययन ने उसे आठवीं और बारहवीं सदी के बीच रखा था। बोडलियन के विवरण में स्थानधारक से स्वयं में एक संख्या तक का क़दम भारत में, 628 में, ब्रह्मगुप्त के ग्रंथ में उठाया गया। आर्यभट का शून्य-ज्ञान, 129 वर्ष पहले 499 में, उनके गणित वाले लेख में है।

शब्दों में लिखा द्विघात नियम

अध्याय 18 उन समीकरणों का भी नियम देता है जिनमें एक वर्ग, एक अज्ञात और एक सादी संख्या हो। द्विघात समीकरण वाले खंड में कोलब्रुक का अनुवाद कहता है कि सादी संख्या को वर्ग के सामने की संख्या के चार गुने से गुणा करो, और अज्ञात के सामने की संख्या का वर्ग जोड़ो। परिणाम का वर्गमूल लो, अज्ञात के सामने की संख्या घटाओ, और वर्ग के सामने की संख्या के दुगुने से भाग दो।

आधुनिक चिह्नों में ax² + bx = c लिखने पर नियम x देता है, (4ac + b²) के वर्गमूल में से b घटाकर, सब 2a से भाग देने पर। पाठक इसे x² + 2x = 3 पर परख सकता है: 16 का वर्गमूल 4 है, उसमें से 2 घटाने पर 2, 2 से भाग देने पर 1, इसलिए x है 1। श्लोक में केवल धनात्मक उत्तर आता है।

कुट्टक और साल भर में हल करने की चुनौती

अध्याय 18 कुट्टक को प्रश्न हल करने की कुंजी कहकर शुरू होता है। विधि एक ऐसी पूर्ण संख्या खोजती है जो दी हुई संख्याओं से भाग देने पर दिए हुए शेष छोड़े। कोलब्रुक का पाठ एक उदाहरण हल करता है: वह कौन-सी संख्या है जो 6 से भाग देने पर 5, 5 से भाग देने पर 4, 4 से भाग देने पर 3 और 3 से भाग देने पर 2 शेष छोड़ती है? वह उत्तर 59 देता है। उसी विधि पर आर्यभट के छोटे श्लोक ऊपर जुड़े लेख में हैं।

ब्रह्मगुप्त ने अपने पाठकों के लिए एक प्रश्न भी रखा। एक संख्या लो, उसका वर्ग करो, 92 से गुणा करो, एक जोड़ो, और परिणाम को पूर्ण वर्ग बनाओ। कोलब्रुक का अनुवाद कहता है कि जो इसे एक साल के भीतर हल कर ले वह गणितज्ञ है। इसका सबसे छोटा उत्तर 120 है, जिसे हाथ से जाँचा जा सकता है: 92 गुणा 120 का वर्ग, जमा 1, 1,324,801 है, जो 1,151 का वर्ग है। मैकट्यूटर जोड़ता है कि उन्होंने संबंधित समीकरण 8x² + 1 = y² के हलों की एक शृंखला पाई, जिनमें (1, 3), (6, 17) और (35, 99) हैं।

क्षेत्रफल, वृत्त और चतुर्भुज का मामला

अंकगणित का अध्याय त्रिभुज या चतुर्भुज के “सटीक” क्षेत्रफल का सूत्र देता है। कोलब्रुक उसका अनुवाद यों करते हैं: भुजाओं के योग का आधा, चार बार रखा और हर बार एक भुजा से घटाया, आपस में गुणा किया जाता है, और “गुणनफल का वर्गमूल सटीक क्षेत्रफल है।” त्रिभुज में, कोलब्रुक नोट करते हैं, घटाई गई चार संख्याओं में से एक आधा-योग ही रह जाती है। उनकी टीका 14, 13 और 15 भुजाओं वाला त्रिभुज हल करती है: आधा-योग 21 है, चार संख्याएँ 7, 8, 6 और 21 हैं, उनका गुणनफल 7,056 है, और उसका मूल 84 है।

मैकट्यूटर उसी नियम को एक ऐसे चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र बताता है जिसके कोने एक वृत्त पर हों, साथ में उसके विकर्णों का तदनुरूप सूत्र। वह जोड़ता है कि ब्रह्मगुप्त यह नहीं कहते कि सूत्र केवल ऐसी आकृतियों के लिए सही है। कुछ इतिहासकार इसे भूल मानते हैं, मैकट्यूटर कहता है, जबकि अन्य उन्हें केवल उसी स्थिति का आशय रखता पढ़ते हैं।

कोलब्रुक के अनुवाद में वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल के लिए दो-दो मान हैं। तीन से गुणा करने पर “व्यावहारिक” मान मिलता है; वर्ग के दस गुने का वर्गमूल “सूक्ष्म” मान देता है। परिधि पर लागू करने पर इसका अर्थ है व्यास गुणा दस का वर्गमूल, व्यास का लगभग 3.16 गुना।

अंकगणित के अध्याय में रोज़मर्रा के प्रश्न भी भरे हैं। मैकट्यूटर द्वारा उद्धृत एक प्रश्न अज्ञात ब्याज दर पर उधार दिए गए 500 द्रम्म का है। उस पर चार महीने का ब्याज उसी दर पर किसी दूसरे व्यक्ति को उधार दिया जाता है और दस महीने में 78 द्रम्म हो जाता है; पाठक को दर निकालनी है।

आर्यभट के आलोचक, और वह एक जगह जहाँ वे चुप हैं

ब्रह्मगुप्त का ग्यारहवाँ अध्याय पहले के खगोलविदों की आलोचना करता है, अधिकतर आर्यभट की। डब्ल्यू. ई. क्लार्क के विवरण में ब्रह्मगुप्त आर्यभट का उल्लेख लगभग साठ बार करते हैं, और अधिकांश कड़ी आलोचना उन बिंदुओं पर है जहाँ आर्यभट परंपरा से हटे। क्लार्क जोड़ते हैं कि आर्यभट के गणित वाले खंड का कोई श्लोक न उद्धृत किया गया है, न आलोचित, और वे सुझाते हैं कि यह चुप्पी इसका संकेत हो सकती है कि ब्रह्मगुप्त को आपत्ति करने लायक़ कुछ नहीं मिला।

खगोल पर, मैकट्यूटर कहता है, ब्रह्मगुप्त स्थिर पृथ्वी में विश्वास रखते थे, और पहली रचना में उन्होंने वर्ष की लंबाई 365 दिन 6 घंटे 5 मिनट 19 सेकंड दी। खण्डखाद्यक में वे 365 दिन 6 घंटे 12 मिनट 36 सेकंड पर गए, जिसे मैकट्यूटर सुधार नहीं गिनता। स्प्रिंगर जोड़ता है कि उस बाद की रचना के पहले भाग में उन्होंने अर्धरात्रिक पक्ष का अनुसरण किया, जिसे वह कहता है कि आर्यभट प्रथम ने स्थापित किया। पृथ्वी के घूमने के प्रश्न पर आर्यभट पर पहले का लेख देखिए।

उज्जैन से बग़दाद तक

मैकट्यूटर के भारतीय गणित के अवलोकन में ब्रह्मगुप्त उज्जैन पाठशाला में प्रमुख महत्त्व के अगले व्यक्ति हैं, जिन्होंने ऋण संख्याओं और शून्य पर अपने काम से संख्या-प्रणालियों में एक प्रमुख योगदान दिया। उनका खगोल आठवीं सदी के उत्तरार्ध में अरब पहुँचा, स्प्रिंगर कहता है।

एम. एस. ख़ान, 1987 के एक अंतरराष्ट्रीय खगोलीय संघ संगोष्ठी के शोधपत्र में, बताते हैं कि अल-बिरूनी ने दर्ज किया कि ब्रह्मस्फुटसिद्धांत का अनुवाद बग़दाद के ख़लीफ़ा अल-मंसूर के आदेश पर इस्लामी कैलेंडर के वर्ष 154 या 156 में हुआ, जो 770 और 773 ई. के बीच पड़ता है। उस अरबी रूप को महान सिंधहिंद कहा गया। कोलब्रुक, 920 में प्रकाशित अरबी खगोलीय सारणियों की भूमिका का हवाला देकर, बताते हैं कि एक भारतीय खगोलविद सारणियाँ इस्लामी कैलेंडर के वर्ष 156 (773 ई.) में अल-मंसूर के दरबार में लाया और मुहम्मद अल-फ़ज़ारी ने ग्रंथ का बड़े सिंध-हिंद के रूप में अनुवाद किया। उस नाम और संस्कृत सिद्धांत के बीच का संबंध एक अनुमान है, कोलब्रुक कहते हैं।

मैकट्यूटर के अल-ख़्वारिज़्मी के जीवन-वृत्त के अनुसार, उनके अपने सिंधहिंद ज़ीज (खगोलीय सारणियों की पुस्तक) के पीछे का भारतीय पाठ लगभग 770 में बग़दाद दरबार को एक भारतीय राजनीतिक मिशन के उपहार के रूप में पहुँचा। हिंदू गणना-कला पर उनका काम आज के इराक़ में शून्य को स्थानधारक के रूप में इस्तेमाल करने वाला पहला था, मैकट्यूटर का शून्य का इतिहास जोड़ता है।

बाद के भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के खुले प्रश्न, शून्य से भाग, पर काम करते रहे। अपने नियमों में उन्होंने लिखा कि शून्य को शून्य से भाग देने पर शून्य मिलता है, जिसे मैकट्यूटर ग़लत ठहराता है, जबकि पूरे प्रयास को अंकगणित को बढ़ाने का एक शानदार प्रयास कहता है। लगभग 830 में महावीर ने गणितसारसंग्रह ब्रह्मगुप्त की पुस्तक के अद्यतन के रूप में लिखा, और ब्रह्मगुप्त के 500 से अधिक वर्ष बाद भी भास्कर उसी समस्या पर काम कर रहे थे।

मैकट्यूटर का शून्य का इतिहास दर्ज करता है कि फ़िबोनाची ने लगभग 1200 में Liber Abaci में नौ भारतीय अंकों को चिह्न 0 के साथ बताया, 0 को चिह्न और बाक़ी नौ प्रतीकों को संख्याएँ कहते हुए।