इसवी सन ६२८ मध्ये ब्रह्मगुप्ताने शून्य आणि ऋण संख्यांचे नियम, एक वर्गसमीकरणाचे उत्तर आणि चतुष्कोणी आकृत्यांचे क्षेत्रफळसूत्र लिहून ठेवले

ब्रह्मगुप्ताचा ब्रह्मस्फुटसिद्धांत, इसवी सन ६२८ मध्ये पूर्ण झालेला, शून्य आणि ऋण संख्यांची बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार करताना त्या कशा वागतात ते मांडतो. ऑक्सफर्डची बोडलियन ग्रंथालये त्याला शून्याला संख्या म्हणून चर्चिणारा पहिला दस्तऐवज म्हणतात, आणि खगोलशास्त्रज्ञांवरील एक स्प्रिंगर संदर्भग्रंथ सांगतो की तो लिहिताना लेखक सुमारे ३० वर्षांचा होता.

नियम एका खगोलशास्त्राच्या पुस्तकात, श्लोकांत लिहिलेल्या, बीजगणितावरील अध्यायात आहेत, ज्यात वर्गसमीकरणे सोडवण्याचा एक मार्ग आणि वाचकांसाठी एक आव्हान-प्रश्नही आहे. हा लेख गणिताविषयी आहे. दशमान पद्धत आणि शून्याचे चिन्ह शतकानुशतके कसे वाढले हे भारत आणि शून्य यावरील लेखात आहे.

भिल्लमालमध्ये, सुमारे ३० व्या वर्षी पूर्ण झालेला ग्रंथ

सेंट अँड्र्यूज विद्यापीठातील गणिताच्या इतिहासाचे संग्रह मॅकट्यूटर आणि स्प्रिंगरचा बायोग्राफिकल एन्सायक्लोपीडिया ऑफ अॅस्ट्रोनॉमर्स दोघेही ब्रह्मगुप्ताच्या जन्माचे वर्ष ५९८ देतात. स्थानाबाबत ते वेगळे आहेत: मॅकट्यूटरसाठी उज्जैन ही एक शक्यता आहे, स्प्रिंगरमध्ये भिल्लमाल हे उत्तर आहे. कसेही असो, त्याने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत भिल्लमाल येथे लिहिला, जे आता राजस्थानच्या नैऋत्येतील भिन्नमाल शहर आहे आणि मॅकट्यूटरच्या वर्णनात गुर्जर वंशाच्या राज्यातील प्रदेशांची राजधानी. त्याचे वडील जिष्णुगुप्त होते.

६२८ साठी एक जुना साक्षीदार इंग्रज विद्वान हेन्री कोलब्रुक यांच्या १८१७ च्या प्रस्तावनेत दिसतो. उज्जैनमधील खगोलशास्त्रज्ञांनी, ब्रिटिश वकिलातीसोबत तेथे राहिलेल्या विल्यम हंटर यांना, सांगितले की ब्रह्मगुप्त शक वर्ष ५५० मधील होता, ज्याचे कोलब्रुक इसवी सन ६२८ मध्ये रूपांतर करतात. त्यांचा आधार, ते जोडतात, नोंदवला गेला नव्हता.

नंतर तो उज्जैन येथील खगोलशास्त्रीय वेधशाळेचा प्रमुख झाला, ज्याला मॅकट्यूटर त्या काळातील प्राचीन भारतातील आघाडीचे गणितीय केंद्र म्हणते. दुसरा ग्रंथ, खंडखाद्यक, ६६५ मध्ये आला, जेव्हा तो ६७ वर्षांचा होता, असे मॅकट्यूटर सांगते. त्याच्या मृत्यूबद्दल मॅकट्यूटर ६७० देते, तर स्प्रिंगर फक्त “६६५ नंतर” म्हणतो.

पंचवीस अध्याय, त्यातले दोन गणिताचे

ब्रह्मस्फुटसिद्धांतात मॅकट्यूटरच्या मोजणीत २५ अध्याय आहेत आणि स्प्रिंगरच्या मोजणीत २४, आणि स्प्रिंगर नोंदवतो की काही आवृत्त्या श्लोकबद्ध सारण्यांचा एक अध्याय जोडतात; मॅकट्यूटरच्या यादीत त्या सारण्या समाविष्ट आहेत. अनेक इतिहासकारांना वाटते की पहिले दहा अध्याय आधीची आवृत्ती होते, असे मॅकट्यूटर सांगते, आणि उर्वरित पंधरा ही बीजगणित, शंकू (सावल्या मोजण्यासाठी वापरली जाणारी उभी काठी), गोल आणि उपकरणे अशा विषयांना व्यापणारी मोठी भर आहे. स्प्रिंगर कळवतो की ब्रह्मगुप्त या ग्रंथाचे वर्णन ब्रह्माच्या नावे सांगितल्या जाणाऱ्या आधीच्या खगोलशास्त्रीय प्रणालीची सुधारित आवृत्ती असे करतो.

अध्याय १२, अंकगणिताचा, आणि अध्याय १८, बीजगणिताचा, यांत गणित आहे. इंग्रजी वाचकांना दोन्ही कोलब्रुक यांच्याकडून मिळाले, ज्यांनी त्यांचे नंतरच्या भाष्यासह भाषांतर करून १८१७ मध्ये लंडनमध्ये प्रकाशित केले. ते आपल्या प्रस्तावनेत युक्तिवाद करतात की ब्रह्मगुप्ताचे अध्याय बीजगणितावरील अरबी ग्रंथांपेक्षा जुने आहेत.

शून्याबद्दल पुस्तक काय सांगते

शून्य, मॅकट्यूटरच्या ग्रंथाच्या वर्णनात, एखाद्या संख्येतून तीच संख्या वजा केल्याचा परिणाम म्हणून परिभाषित केले आहे. त्याबद्दलचे ब्रह्मगुप्ताचे नियम बीजगणित अध्यायात येतात, कोलब्रुक ज्याला “अल्गोरिदम” शीर्षक देतात त्या विभागात, आणि बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार व्यापतात.

बेरजेसाठी कोलब्रुक यांचे भाषांतर असे आहे: “शून्य आणि ऋण यांची बेरीज ऋण असते; धन आणि शून्य यांची धन; दोन शून्यांची शून्य.” येथे “cipher” आणि “nought” म्हणजे शून्य. वजाबाकी अशी: “शून्यातून वजा केलेले ऋण धन होते; आणि धन ऋण होते.” मॅकट्यूटर वापरते त्या पैशाच्या भाषेत, धन संख्या म्हणजे संपत्ती आणि ऋण संख्या म्हणजे कर्ज, आणि शून्यातून वजा केलेले कर्ज म्हणजे संपत्ती.

गुणाकार पुढे येतो: ऋण गुणिले धन ऋण, दोन ऋण धन करतात, आणि शून्य गुणिले काहीही शून्य. विद्यार्थी आज हेच नियम शिकतात; ते मांडणारा ग्रंथ जवळपास १,४०० वर्षे जुना आहे.

मॅकट्यूटरच्या शून्याच्या इतिहासात, ऋण संख्या आणि शून्य यांपर्यंत अंकगणित वाढवण्याचा प्रयत्न करणारा ब्रह्मगुप्त हा ज्ञात पहिला माणूस आहे. पार्श्वभूमी बोडलियन ग्रंथालयांकडून येते, जिच्याकडे बख्शाली हस्तलिखित आहे: रिकाम्या जागेसाठी स्थानधारक म्हणून वापरलेला एक बिंदू त्या भूर्जपत्रावरील मजकुरात सर्वत्र दिसतो. कार्बन कालमापनाने त्याचे सर्वात जुने साहित्य तिसऱ्या किंवा चौथ्या शतकाइतके आधीचे ठरवले, तरी हस्तलिखिताच्या वयावर वाद झाला आहे आणि एका आधीच्या अभ्यासाने ते आठवे ते बारावे शतक यांच्या दरम्यानचे ठरवले होते. बोडलियनच्या वृत्तांतात स्थानधारकापासून स्वतंत्र संख्येपर्यंतचे पाऊल भारतात, ६२८ मध्ये, ब्रह्मगुप्ताच्या ग्रंथात टाकले गेले. त्याआधी १२९ वर्षे, ४९९ मध्ये, आर्यभटाला शून्याचे ज्ञान कसे होते याचा विचार त्याच्या गणितावरील लेखात केला आहे.

शब्दांत लिहिलेला वर्गसमीकरणाचा नियम

अध्याय १८ मध्ये वर्ग, एक अज्ञात आणि एक साधी संख्या असलेल्या समीकरणांचा नियमही आहे. कोलब्रुक यांचे भाषांतर, वर्गसमीकरणावरील त्याच्या विभागात, सांगते की साध्या संख्येला वर्गाच्या पुढील संख्येच्या चौपटीने गुणा, आणि अज्ञाताच्या पुढील संख्येचा वर्ग मिळवा. निकालाचे वर्गमूळ काढा, अज्ञाताच्या पुढील संख्या वजा करा, आणि वर्गाच्या पुढील संख्येच्या दुपटीने भागा.

आधुनिक चिन्हांत ax² + bx = c असे लिहिले असता, नियम x ला (4ac + b²) च्या वर्गमुळातून b वजा करून, सर्वाला 2a ने भागल्याइतके देतो. वाचक x² + 2x = 3 वर तो तपासू शकतो: 16 चे वर्गमूळ 4, वजा 2 म्हणजे 2, 2 ने भागले की 1, म्हणून x म्हणजे 1. श्लोकात फक्त धन उत्तर येते.

कुट्टक आणि वर्षभरात सोडवण्याचे आव्हान

अध्याय १८ कुट्टकाला (kuttaka), म्हणजे चूर्ण करणाऱ्याला, प्रश्न सोडवण्याची किल्ली म्हणून संबोधून सुरू होतो. ही पद्धत असा पूर्णांक शोधते जो दिलेल्या संख्यांनी भागल्यावर दिलेले बाकी ठेवतो. कोलब्रुक यांचा मजकूर एक उदाहरण सोडवतो: कोणती संख्या 6 ने भागल्यावर 5, 5 ने भागल्यावर 4, 4 ने भागल्यावर 3 आणि 3 ने भागल्यावर 2 बाकी ठेवते? ते उत्तर 59 देते. त्याच पद्धतीवरील आर्यभटाचे छोटे श्लोक वर लिंक केलेल्या लेखात आहेत.

ब्रह्मगुप्ताने वाचकांसाठी एक प्रश्नही मांडला. एक संख्या घ्या, तिचा वर्ग करा, 92 ने गुणा, एक मिळवा, आणि निकाल पूर्ण वर्ग करा. कोलब्रुक यांचे भाषांतर म्हणते की जो माणूस हा एका वर्षाच्या आत सोडवतो तो गणितज्ञ आहे. त्याचे सर्वात लहान उत्तर 120 आहे, जे हाताने तपासता येते: 92 गुणिले 120 चा वर्ग, अधिक 1, हे 1,324,801 आहे, जे 1,151 चा वर्ग आहे. मॅकट्यूटर जोडते की संबंधित समीकरण 8x² + 1 = y² ची उत्तरांची एक मालिका त्याने शोधली, त्यात (1, 3), (6, 17) आणि (35, 99) आहेत.

क्षेत्रफळे, वर्तुळे आणि चौकोनाची बाब

अंकगणित अध्याय त्रिकोणाच्या किंवा चतुष्कोणी आकृतीच्या “अचूक” क्षेत्रफळाचे सूत्र देतो. कोलब्रुक ते असे भाषांतरित करतात: बाजूंच्या बेरजेचा निम्मा चार वेळा मांडून आणि प्रत्येकातून एकेक बाजू वजा करून, ते गुणले जातात, आणि “गुणाकाराचे वर्गमूळ हे अचूक क्षेत्रफळ आहे.” त्रिकोणात, कोलब्रुक नमूद करतात, चार वजा केलेल्या संख्यांपैकी एक अर्ध-बेरीज म्हणून तशीच ठेवली जाते. त्यांचे भाष्य 14, 13 आणि 15 बाजू असलेला त्रिकोण सोडवते: अर्ध-बेरीज 21, चार संख्या 7, 8, 6 आणि 21, त्यांचा गुणाकार 7,056, आणि त्याचे मूळ 84.

मॅकट्यूटर तोच नियम अशा चतुष्कोणी आकृतीच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र म्हणून वर्णन करते जिचे कोपरे वर्तुळावर आहेत, तिच्या कर्णांच्या जुळणाऱ्या सूत्रासह. ती जोडते की सूत्र फक्त अशाच आकृत्यांना लागू होते असे ब्रह्मगुप्त म्हणत नाही. काही इतिहासकार त्याला चूक मानतात, मॅकट्यूटर म्हणते, तर इतर त्याचा अर्थ फक्त तोच प्रसंग असा घेतात.

कोलब्रुक यांच्या भाषांतरात वर्तुळांना परिघ आणि क्षेत्रफळ यांसाठी प्रत्येकी दोन किमती मिळतात. तीनने गुणले की “व्यावहारिक” किंमत मिळते; वर्गाच्या दहापटीचे वर्गमूळ “सुबक” किंमत देते. परिघाला लावले असता, म्हणजे व्यास गुणिले 10 चे वर्गमूळ, व्यासाच्या सुमारे 3.16 पट.

दैनंदिन प्रश्नांनीही अंकगणित अध्याय भरलेला आहे. मॅकट्यूटरने उद्धृत केलेला एक अज्ञात व्याजदराने दिलेल्या 500 द्रम्मांचा आहे. त्यावरील चार महिन्यांचे व्याज त्याच दराने दुसऱ्या व्यक्तीला दिले जाते आणि दहा महिन्यांत 78 द्रम्म होते; वाचकाने दर शोधायचा आहे.

आर्यभटाचा टीकाकार, आणि एक जागा जिथे तो गप्प आहे

ब्रह्मगुप्ताचा अकरावा अध्याय आधीच्या खगोलशास्त्रज्ञांवर, मुख्यतः आर्यभटावर, टीका करतो. डब्ल्यू. ई. क्लार्क यांच्या वृत्तांतात ब्रह्मगुप्त आर्यभटाचा सुमारे साठ वेळा उल्लेख करतो, आणि बहुतेक कठोर टीका आर्यभटाने परंपरेपासून फारकत घेतलेल्या मुद्द्यांवर आहे. क्लार्क जोडतात की आर्यभटाच्या गणित विभागातील एकही श्लोक उद्धृत केलेला नाही किंवा त्यावर टीका केलेली नाही, ही शांतता ब्रह्मगुप्ताला आक्षेप घेण्यासारखे काही आढळले नाही याचा अर्थ असू शकते असे ते सुचवतात.

खगोलशास्त्राबद्दल, ब्रह्मगुप्त स्थिर पृथ्वीवर विश्वास ठेवत होता, असे मॅकट्यूटर सांगते, आणि पहिल्या ग्रंथात त्याने वर्षाची लांबी 365 दिवस 6 तास 5 मिनिटे 19 सेकंद दिली. खंडखाद्यकात तो 365 दिवस 6 तास 12 मिनिटे 36 सेकंदांवर गेला, ज्याला मॅकट्यूटर सुधारणा मानत नाही. स्प्रिंगर जोडतो की त्या नंतरच्या ग्रंथाच्या पहिल्या भागात त्याने अर्धरात्रिक पंथाचे अनुसरण केले, ज्याची स्थापना आर्यभट पहिल्याने केली असे तो सांगतो. पृथ्वीच्या फिरण्याच्या प्रश्नावर आर्यभटावरील आधीचा लेख पाहा.

उज्जैनपासून बगदादपर्यंत

मॅकट्यूटरच्या भारतीय गणिताच्या आढाव्यात, ब्रह्मगुप्त हा उज्जैन शाळेतील पुढचा प्रमुख व्यक्ती आहे, ऋण संख्या आणि शून्यावरील कामातून संख्या पद्धतींतील प्रमुख योगदानांपैकी एकासह. त्याचे खगोलशास्त्र आठव्या शतकाच्या उत्तरार्धात अरबस्तानात पोहोचले, असे स्प्रिंगर सांगतो.

एम. एस. खान, १९८७ च्या इंटरनॅशनल अॅस्ट्रोनॉमिकल युनियन चर्चासत्रासाठीच्या शोधनिबंधात, नोंदवतात की अल्बेरुनीने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत बगदादचा खलिफा अल-मन्सूर याच्या आदेशाने इस्लामी कालगणनेच्या १५४ किंवा १५६ व्या वर्षी भाषांतरित झाल्याचे नोंदवले, जे इसवी सन ७७० ते ७७३ यांच्या दरम्यान येते. त्या अरबी आवृत्तीला महान सिंधिंद असे म्हटले गेले. कोलब्रुक, ९२० मध्ये प्रकाशित अरबी खगोलशास्त्रीय सारण्यांच्या प्रस्तावनेचा हवाला देत, कळवतात की एका भारतीय खगोलशास्त्रज्ञाने इस्लामी कालगणनेच्या १५६ व्या वर्षी (इसवी सन ७७३) अल-मन्सूरच्या दरबारात सारण्या आणल्या आणि मुहम्मद अल-फजारीने ग्रंथाचे मोठे सिंद-हिंद म्हणून भाषांतर केले. त्या नावाचा संस्कृत सिद्धान्त शी असलेला संबंध अटकळ आहे, असे कोलब्रुक म्हणतात.

मॅकट्यूटरच्या अल-ख्वारिझ्मीवरील चरित्रानुसार, त्याच्या स्वतःच्या सिंधिंद झीज (खगोलशास्त्रीय सारणीग्रंथ) मागचा भारतीय मजकूर सुमारे ७७० मध्ये भारतीय राजकीय शिष्टमंडळाकडून भेट म्हणून बगदादच्या दरबारात पोहोचला. हिंदू गणनाकलेवरील त्याचे काम आजच्या इराकमधील शून्याचा स्थानधारक म्हणून वापर करणारे पहिले होते, असे मॅकट्यूटरचा शून्याचा इतिहास जोडतो.

नंतरच्या भारतीय गणितज्ञांनी ब्रह्मगुप्ताचा खुला प्रश्न, शून्याने भागाकार, यावर काम सुरू ठेवले. त्याच्या नियमांत त्याने लिहिले की शून्याला शून्याने भागले तर शून्य येते, जे मॅकट्यूटर चुकीचे ठरवते, तरीही संपूर्ण प्रयत्नाला अंकगणिताचा विस्तार करण्याचा एक तेजस्वी प्रयत्न म्हणते. सुमारे ८३० मध्ये महावीराने ब्रह्मगुप्ताच्या ग्रंथाची सुधारित आवृत्ती म्हणून गणितसारसंग्रह लिहिला, आणि ब्रह्मगुप्तानंतर ५०० हून अधिक वर्षांनी भास्कर अजूनही त्याच समस्येवर काम करत होता.

मॅकट्यूटरचा शून्याचा इतिहास नोंदवतो की सुमारे १२०० मध्ये फिबोनाचीने लिबर अबाची मध्ये नऊ भारतीय अंक आणि 0 चे चिन्ह वर्णन केले, 0 ला चिन्ह आणि इतर नऊ चिन्हांना संख्या म्हटले.