इसवी सन ४९९ मध्ये आर्यभटाने एकेक अंक काढत जाणारी मुळे, श्रेणींच्या बेरजा, २४ नोंदींची साइन सारणी आणि समीकरणे सोडवण्याची पद्धत सुमारे १२० श्लोकांत मांडली

आर्यभटीय, इसवी सन ४९९ मध्ये पूर्ण झालेले, त्या काळातील अंकगणित, बीजगणित आणि त्रिकोणमिती गणिताच्या ३३ श्लोकांच्या एका अध्यायात बसवते. सेंट अँड्र्यूज विद्यापीठातील गणिताच्या इतिहासाचे अभिलेखागार मॅकट्यूटर त्या श्लोकांत ६६ नियम मोजते, सिद्धतेशिवाय मांडलेले. त्याचा लेखक आर्यभट स्वतःचे वय २३ सांगतो, ज्यावरून त्याचा जन्म ४७६ मध्ये येतो.

हा लेख गणिताविषयी आहे. फिरणारी पृथ्वी आणि ग्रहणांचे स्पष्टीकरण वेगळ्या लेखात आहे, आणि त्याचे नाव धारण करणारा उपग्रह दुसऱ्या लेखात.

कुसुमपुरातील एक २३ वर्षांचा तरुण

आर्यभट स्वतःचा काळ पुस्तकाच्या तिसऱ्या अध्यायात सांगतो. शिकागो विद्यापीठ प्रकाशनाने १९३० मध्ये प्रकाशित केलेल्या डब्ल्यू. ई. क्लार्क यांच्या इंग्रजी भाषांतरात, तो श्लोक ३,६०० वर्षे आणि एका युगाचा तीन चतुर्थांश भाग मोजतो, युग हे एक प्रचंड खगोलीय चक्र, आणि म्हणतो की त्याच्या आयुष्याची तेवीस वर्षे उलटली होती. आर्यभटाने कलियुगाची गणना इसवी सनपूर्व ३१०२ पासून सुरू केली असेल, जसे नंतरच्या खगोलशास्त्रज्ञांनी केले, तर तो श्लोक इसवी सन ४९९ वर येतो, असे क्लार्क यांनी काढले आहे. ते जोडतात की पंधराव्या शतकातील भाष्यकार परमेश्वर एका आधीच्या भाष्याचा हवाला देतो, ज्यात ४९९ ही अशी तारीख म्हणून वाचली आहे ज्यासाठी पुस्तकातील ग्रहसारण्या अचूक आहेत. मॅकट्यूटर आणि क्लार्क दोघेही ४९९ हे रचनेचे वर्ष मानतात.

पुस्तक ज्या ठिकाणचे ज्ञान मांडते त्याचेही नाव देते. क्लार्क यांच्या भाषांतरात आर्यभट “कुसुमपुरात ज्याचा सन्मान केला जातो ते शास्त्र” सादर करतो. डेव्हिड पिंग्री, डिक्शनरी ऑफ सायंटिफिक बायोग्राफीत लिहिताना, कुसुमपुराची ओळख पाटलिपुत्राशी, म्हणजे आजच्या पाटण्याशी, पटवतात, जे चौथ्या आणि पाचव्या शतकातील बराच काळ गुप्तांची शाही राजधानी होते. कुसुमपुराचे नेमके स्थान अनिश्चित आहे, असे मॅकट्यूटर जोडते. क्लार्क म्हणतात की ते “त्याचे जन्मस्थान असेलही किंवा नसेलही”.

तो कुठे जन्मला हे ठरलेले नाही. अश्मक, ज्या प्रदेशाचे स्थान स्वतःच वादग्रस्त आहे, असे सांगणारी एक परंपरा भाष्यकार नीलकंठ सोमसुत्वन, जन्म १४४३, यांच्या एका टिपणीवर आधारलेली आहे. पिंग्री ते पहिल्या भास्कराशी झालेला गोंधळ असावा असे वाचतात, आणि मॅकट्यूटर म्हणते की बहुतेक इतिहासकारांना आता वाटते की नीलकंठाने दोघांची गल्लत केली. इतरांनी केरळ, तमिळनाडू, आंध्र प्रदेश किंवा बंगाल सुचवले आहे. मॅकट्यूटर एस. परमेश्वरन यांचा निष्कर्ष उद्धृत करते की दोन्हीपैकी कोणत्याही ठिकाणाबाबत अंतिम निर्णय देता येत नाही.

चरित्रांतील आणखी दोन तथ्ये. अरब विद्वान अल्बेरुनीचा समज होता की आर्यभट नावाचे दोन गणितज्ञ होते, आणि बी. दत्त यांनी १९२६ मध्ये ते एकच व्यक्ती होते हे दाखवले, असे मॅकट्यूटर सांगते. आणि त्याचे फक्त एकच पुस्तक टिकले आहे. पिंग्री दुसरे, आता हरवलेले, पुस्तक नोंदवतात, ज्यात मध्यरात्रीपासून दिवस मोजण्याची पद्धत मांडली होती.

लक्षात ठेवण्यासाठी रचलेले पुस्तक

आर्यभटीय चार विभागांचे आहे: खगोलशास्त्रीय स्थिरांक असलेल्या श्लोकांचा एक छोटा आरंभ, गणिताचा अध्याय (गणितपाद, ३३ श्लोक), काळगणना आणि ग्रहप्रारूपांचा अध्याय (२५ श्लोक), आणि गोल आणि ग्रहणांचा अध्याय (५० श्लोक). एकूण श्लोक किती, हे आरंभ कसा मोजला यावर अवलंबून आहे. मॅकट्यूटरची मोजणी ११८ श्लोकांची आहे, तर क्लार्क यांच्या आवृत्तीत १३ आरंभीची कडवी छापली आहेत, जी उर्वरित तीन विभागांतील १०८ सह १२१ होतात.

क्लार्क यांच्या वर्णनात हा ग्रंथ पूर्ण कार्यपुस्तिकेऐवजी सारांश आहे. तो आर्यभटाच्या पद्धतीचे वैशिष्ट्यपूर्ण भाग सांगतो आणि वाचकांना ज्या नेहमीच्या कार्यपद्धती माहीत असतील अशी अपेक्षा होती त्या वगळतो. गणित सिद्धतेशिवाय संक्षिप्त श्लोकांत नियमांच्या रूपात दिले आहे, म्हणून वाचकाला गुरू किंवा भाष्य लागत असे.

आर्यभटाने प्रत्येक श्लोक लिहिला का, असा प्रश्न विद्वानांनी विचारला आहे. मॅकट्यूटरने नोंदवल्याप्रमाणे बी. एल. व्हॅन डर वेर्डेन यांनी सुचवले की दहा श्लोकांचा आरंभ इतर तीन विभागांनंतर लिहिला गेला आणि काही इतर श्लोक कुसुमपुरातील शाखेच्या एका सदस्याने जोडले. क्लार्क यांना आरंभीचा विभाग नाकारण्याचे चांगले कारण सापडले नाही, अंशतः कारण ब्रह्मगुप्ताने ६२८ मध्ये त्यातील किमान तीन उतारे उद्धृत केले आणि ते आर्यभटाचे म्हणून सांगितले. क्लार्क यांनी एकंदरीत ग्रंथ अस्सल ठरवला. त्यांनी १९३० मध्ये लिहिले की लेखकत्व टिकले तर हा एका व्यक्तीचे नाव असलेला सर्वात जुना जतन झालेला भारतीय गणितीय आणि खगोलशास्त्रीय ग्रंथ आहे.

अक्षरांत लिहिलेल्या संख्या

आर्यभट मोठ्या संख्या शब्दांत लिहीत असे. व्यंजने १ ते २५ आणि नंतर ३० ते १०० ही मूल्ये दर्शवतात, आणि त्यांना जोडलेले स्वर मूल्य वरच्या स्थानांत नेतात. मॅकट्यूटरनुसार ही योजना १० च्या १८ व्या घातापर्यंत पोहोचू शकते. क्लार्क नमूद करतात की स्वरांचा नियम एकापेक्षा अधिक प्रकारे भाषांतरित करता येतो, आणि आर्यभट स्वतः वापरतो ती सर्वात मोठी संख्या फक्त दहा स्थानांची आहे.

त्याचे स्वतःचे उदाहरण म्हणजे एका युगात चंद्र पृथ्वीभोवती किती वेळा फिरतो ती संख्या. एक संस्कृत शब्द, अक्षरागणिक वाचला, क्लार्क यांना ६, ३०, ३००, ३,०००, ५०,०००, ७,००,०००, ७०,००,००० आणि ५,००,००,००० ही मूल्ये देतो. मिळून ती ५,७७,५३,३३६ होतात. ही अक्षरी लिपी फक्त आरंभीचे श्लोक वापरतात. इतरत्र पुस्तक सामान्य संख्यावाचक शब्द वापरते.

अशा पद्धतीत स्थानावरून मूल्य ठरणे आवश्यक असते, आणि गणिताचा अध्याय ते थेट सांगतो. श्लोक २ एकापासून हजार दशलक्षांपर्यंतच्या संख्यावर्गांची नावे देतो आणि म्हणतो की ते “स्थानापासून स्थानापर्यंत प्रत्येक आधीच्याच्या दसपट” असतात, क्लार्क यांच्या भाषांतरात. क्लार्क यांचे मत होते की “इतकी वर्णनात्मक अक्षरी लिपी स्थानमूल्य लिपीवर आधारलेली नव्हती यावर विश्वास ठेवणे कठीण आहे”. दशमान पद्धतीचा व्यापक इतिहास, ब्रह्मगुप्ताच्या शून्याविषयीच्या नियमांपासून पुढे, भारत आणि शून्य यावरील लेखात आहे.

आर्यभटाकडे शून्याचे चिन्ह होते का हा वेगळा प्रश्न आहे, आणि स्रोत विभागलेले आहेत. ख हा शब्द, जो तो एका स्थानासाठी वापरतो, शून्यासाठीचा सामान्य संस्कृत शब्द बनला. क्लार्क यांच्या शब्दांत, आर्यभटाच्या काळात शून्याचे चिन्ह वापरात होते का हे अजूनही वादग्रस्त होते, आणि त्यांनी सुचवले की गणन स्तंभ आखलेल्या फळ्यावर केले जात असावे, शून्यासाठी रिकामा स्तंभ ठेवून. मॅकट्यूटरचा शून्याचा इतिहास म्हणतो की त्याने शून्य नसलेली तरीही स्थानात्मक अशी संख्या पद्धत रचली. मॅकट्यूटरने उद्धृत केलेले इतिहासकार जॉर्ज इफ्रा मानतात की “आर्यभटाला शून्याचे चिन्ह माहीत असण्याची शक्यता अत्यंत जास्त आहे”, कारण त्याची मुळे काढण्याची पद्धत त्याशिवाय अशक्य ठरेल. ऑक्सफर्डने केलेले बख्शाली हस्तलिखिताचे कार्बन कालमापन, जे रिकाम्या स्थानासाठी बिंदू वापरते, त्याचे सर्वात जुने साहित्य तिसऱ्या किंवा चौथ्या शतकाइतके आधीचे ठरवते. मॅकट्यूटरचे भारतीय अंकांवरील पान म्हणते की त्या हस्तलिखिताची तारीख वादग्रस्त आहे. सर्व इतिहासकारांनी मान्य केलेले पहिले दिनांकित शून्य म्हणजे ८७६ चा ग्वाल्हेरचा शिलालेख, असे मॅकट्यूटर सांगते.

मुळे, बेरजा आणि व्याज

मुळांचे नियम श्लोक ४ आणि ५ मध्ये येतात. वर्गमुळाचा नियम, क्लार्क यांच्या भाषांतरात, असा सुरू होतो: “अवर्गाला नेहमी (आधीच्या) वर्गाच्या (वर्ग)मुळाच्या दुपटीने भागावे.” येथे वर्ग म्हणजे वर्ग आणि उजवीकडून मोजताना विषम स्थाने, आणि अवर्ग म्हणजे सम स्थाने. संख्येतून स्थानागणिक जात, ही पद्धत मुळाचे अंक एकेक करून घेते. क्लार्क यांनी प्रक्रिया मुळात बरोबर ठरवली, शब्दरचनेतील अनेक अडचणी नमूद करत. घनमुळाचा नियम त्याच शैलीत पुढे येतो.

श्लोक २२ दोन बेरजा देतो. पहिल्या n पूर्ण संख्यांच्या वर्गांची बेरीज म्हणजे n, n अधिक १, आणि n च्या दुपटीत १ मिळवलेली संख्या यांच्या गुणाकाराचा सहावा भाग. त्यांच्या घनांची बेरीज म्हणजे त्या संख्यांच्या बेरजेचा वर्ग. आधुनिक संकेतांत, त्या n(n+1)(2n+1)/6 आणि (1 + 2 + … + n) चा वर्ग. श्लोक १९ ठरावीक अंतराने वाढणाऱ्या श्रेणीतील कितीही पदांची बेरीज देतो, आणि श्लोक २० एकूण बेरजेवरून पदसंख्येकडे उलट जातो, ज्यात वर्गमूळ येते.

अध्यायात अशा प्रश्नाचा नियमही आहे ज्यात व्याजावरच व्याज मिळते, त्रैराशिकाचा नियम (“फळाला इच्छेने गुणा आणि प्रमाणाने भागा,” असे क्लार्क भाषांतर करतात), आणि लंब गुणिले अर्धा पाया म्हणून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ. त्रिकोणाचे आणि वर्तुळाचे क्षेत्रफळ बरोबर आहेत, असे मॅकट्यूटर नमूद करते.

कुट्टक, चूर्ण करणारी पद्धत

सर्वात तांत्रिक नियम श्लोक ३२ आणि ३३ आहेत. ते असा पूर्णांक शोधतात जो दोन वेगळ्या संख्यांनी भागल्यावर दिलेले बाकी ठेवतो. by = ax + c किंवा by = ax वजा c या स्वरूपाच्या समीकरणांची पूर्णांकातील उत्तरे हा प्रश्न आहे, मॅकट्यूटरच्या वर्णनात, आणि आर्यभटाची हाताळणी तिला माहीत असलेली सर्वात जुनी आहे. ग्रहांचे कालखंड काढताना खगोलशास्त्रज्ञांना हा प्रश्न भेटला.

या पद्धतीचे नाव कुट्टक आहे, “चूर्ण करणे”: प्रश्न मोडून अधिकाधिक लहान गुणकांचे नवे प्रश्न केले जातात. मॅकट्यूटरच्या मांडणीत ही मुळात महत्तम सामाईक विभाजकासाठीची युक्लिडची कार्यपद्धती आहे आणि सतत अपूर्णांकांशी संबंधित आहे. एक सोपे उदाहरण म्हणजे ५ ने भागल्यावर २ आणि ७ ने भागल्यावर ३ बाकी राहणारी संख्या, जी १७ आहे. खगोलशास्त्रीय प्रकरणांत खूप मोठे भाजक असतात. आरएसए सुरक्षा परिषदेसाठीच्या २००६ च्या शोधनिबंधात सुभाष काक नमूद करतात की अशा समशेष (काँग्रुअन्स) समीकरणांची कार्यपद्धती काही परिस्थितींत चिनी शेषप्रमेयाची जागा घेऊ शकते.

क्लार्क त्या दोन श्लोकांबाबत स्पष्टवक्ते होते. ते संक्षिप्त आहेत, आणि ते वाचण्यासाठी त्यांना महावीर, भास्कर किंवा दुसरा आर्यभट यांच्यात मदत सापडली नाही. सर्वात जवळचे साम्य ब्रह्मगुप्ताच्या अधिक विस्तृत मजकुरात आहे, ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त (६२८) चा अठरावा अध्याय. म्हणून क्लार्क यांचे वाचन परमेश्वराच्या भाष्याला आणि ब्रह्मगुप्ताच्या शब्दयोजनेला अनुसरते, आणि दोन नियमांपैकी कोणता आधीचा हे ठरवणे त्यांनी गणितज्ञांवर सोपवले. पहिल्या भास्कराचे ६२९ चे भाष्य फक्त ३३ गणित श्लोकांना व्यापते, असे मॅकट्यूटर सांगते, आणि ते प्रथम घाताची अनिर्धार्य समीकरणे हाती घेते आणि आर्यभटाच्या नियमांची उदाहरणे देते.

π आणि साइन सारणी

श्लोक १० वाचकाला सांगतो की १०० मध्ये ४ मिळवा, ८ ने गुणा आणि ६२,००० मिळवा, ज्यातून २०,००० व्यासाच्या वर्तुळाचा परिघ ६२,८३२ येतो. त्यामुळे गुणोत्तर ३.१४१६ होते. क्लार्क यांच्या भाषांतरात श्लोक या निकालाला परिघ “अंदाजे” म्हणतो. मॅकट्यूटरनुसार आर्यभट आकडा कसा मिळवला हे सांगत नाही आणि प्रत्यक्षात १० चे वर्गमूळ वापरत असे. ए. अहमद यांनी २५६ बाजूंचा बहुभुज सुचवला, आणि ई. एम. ब्रुइन्स यांनी दाखवले की बाजू दुप्पट करत गेल्याने ही किंमत येऊ शकत नाही. अधिक विस्तृत वृत्तांत आधीच्या लेखात आहे.

पहिला विभाग २४ साइन-भेद सांगतो, २२५, २२४ आणि २२२ पासून ७ पर्यंत, चतुर्थांश वर्तुळाला २२५ कला-मिनिटांच्या, म्हणजे ३ अंश ४५ मिनिटांच्या, टप्प्यांत कापून. ३,४३८ मिनिटांच्या त्रिज्येसह, २४ भेदांची बेरीज नेमकी त्या आकड्याइतकी होते. २१,६०० मिनिटांचे वर्तुळ π च्या दुपटीने भागले तरी सुमारे ३,४३८ येतात. श्लोक १२ पहिल्या नोंदीवरून पूर्ण सारणी रचण्याचा नियम देतो. क्लार्क यांनी नोंदवले की साइन काढण्यासाठी आर्यभटाने वापरलेली नेमकी पद्धत माहीत नाही.

पहिल्या भास्कराचे महाभास्करीय पुढे साइनसाठी एक परिमेय सूत्र देते आणि ते आर्यभटाचे म्हणून सांगते. मॅकट्यूटर एक टक्क्यापेक्षा कमी कमाल त्रुटी नोंदवते. मॅकट्यूटरचे त्रिकोणमितीय फलनांवरील पान आर्यभटाचा अर्ध्या जीवेसाठीचा संस्कृत शब्द ज्या अरबी जिबा आणि नंतर जैब यांतून लॅटिन sinus पर्यंत नेते.

गणितावर स्रोत कुठे वेगळे सांगतात

अध्यायातील दोन नियम चुकीचे ठरवले जातात. श्लोक ६ आणि ७ पिरॅमिडचे आणि गोलाचे घनफळ चुकीचे देतात, असे क्लार्क म्हणतात, आणि मॅकट्यूटर नोंदवते की बहुतेक इतिहासकार त्यांना चुकीचे मानतात. के. एल्फरिंग यांनी युक्तिवाद केला की दोन तांत्रिक संज्ञांचे वेगळे भाषांतर केल्यास दोन्ही बरोबर ठरतात. मॅकट्यूटर निरीक्षण करते की त्यांच्या वाचनासाठी त्या संज्ञा असामान्य अर्थांनी घ्याव्या लागतात, म्हणून प्रश्न खुलाच राहतो. क्लार्क यांनी जोडले की ब्रह्मगुप्ताने, ज्याने आर्यभटावर सुमारे साठ वेळा टीका केली, बहुतेक खगोलशास्त्रावर आणि परंपरेपासूनच्या फारकतींवर, गणिताच्या अध्यायाबद्दल काहीच म्हटले नाही, ज्याचा अर्थ त्याला आक्षेप घेण्यासारखे काही सापडले नाही इतकाच असू शकतो, असे क्लार्क यांना वाटले.

सहाव्या शतकापासून १८५४ पर्यंतची भाष्ये

पुस्तकावर बारा शतकांहून अधिक काळ भाष्य होत राहिले. पिंग्री भाष्यकारांची यादी देतात: सुमारे ५२५ मध्ये प्रभाकर, ज्याचे काम हरवले आहे, नंतर ६२९ मध्ये पहिला भास्कर, सुमारे १०४० मध्ये सोमेश्वर, केरळचा सूर्यदेव यज्वन (जन्म ११९१), परमेश्वर (सुमारे १४०० ते १४५०), नीलकंठ सोमसुत्वन (जन्म १४४३), ज्याची केरळ शाखा श्रेणी आणि कलनशास्त्र यावरील वेगळ्या लेखाचा विषय आहे, आणि पुढे बोब्बिलीचा कोदंडराम, ज्याचे तेलुगू भाष्य सुमारे १८५४ चे आहे. पिंग्री नमूद करतात की दक्षिण भारतातील विद्वानांनी त्याचा विशेष बारकाईने अभ्यास केला. पुस्तक सुमारे ८०० मध्ये झीज अल-अर्जभर म्हणून अरबीत भाषांतरित झाले, आणि अल्बेरुनीची सर्व उद्धरणे त्या भाषांतरातून आली, असे पिंग्री म्हणतात. एच. केर्न यांनी संस्कृत मजकूर परमेश्वराच्या भाष्यासह १८७४ मध्ये लायडन येथे प्रकाशित केला, आणि क्लार्क यांचे इंग्रजी भाषांतर १९३० मध्ये आले.

पहिल्या भास्कराने, मॅकट्यूटरनुसार, आर्यभटाला गणित, गतिशास्त्र आणि गोलशास्त्र ही तीन शास्त्रे पुढे देणारा गुरू म्हटले. भारताचा पहिला उपग्रह, १९ एप्रिल १९७५ रोजी प्रक्षेपित, त्याच्या नावावरून ठेवला गेला, असे इस्रोचे पान नोंदवते. १९७९ मध्ये आंतरराष्ट्रीय खगोलशास्त्रीय संघाने एका चंद्रविवराला आर्यभट हे नाव मान्य केले, ज्याचा व्यास यूएसजीएसची नामावली २१.८९ किलोमीटर सांगते.