في عام 499م أودع آريابهاتا في نحو 120 بيتا طريقة استخراج الجذور رقما رقما ومجاميع المتسلسلات وجدول جيب من 24 مدخلا وطريقة لحل المعادلات

يضع كتاب آريابهاتيا، الذي أُنجز عام 499م، حساب عصره وجبره ومثلثاته في فصل رياضيات من 33 بيتا. ويعدّ MacTutor، أرشيف تاريخ الرياضيات في جامعة سانت أندروز، 66 قاعدة في هذه الأبيات، تُذكر دون برهان. ويذكر مؤلفه آريابهاتا عمره، وهو 23 عاما، مما يجعل ميلاده عام 476.

يتناول هذا المقال الرياضيات. أما دوران الأرض وتفسير الكسوف فهما في مقال منفصل، والقمر الصناعي الذي يحمل اسمه في مقال آخر.

شاب في الثالثة والعشرين في كوسوماپورا

يؤرخ آريابهاتا لنفسه في الفصل الثالث من الكتاب. ففي ترجمة و. إ. كلارك الإنجليزية لعام 1930، الصادرة عن مطبعة جامعة شيكاغو، يعدّ البيت 3,600 سنة وثلاثة أرباع يوغا، وهي دورة فلكية هائلة، ويقول إن ثلاثا وعشرين سنة من عمره قد مضت. وإذا كان آريابهاتا قد بدأ عصر كالي عام 3102 ق.م، كما فعل الفلكيون اللاحقون، فإن البيت يقع عام 499م، كما يحسب كلارك. ويضيف أن باراميشفارا، وهو شارح من القرن الخامس عشر، ينقل عن شرح أقدم يقرأ 499 تاريخا للحظة التي تصح عندها جداول الكتاب الكوكبية بدقة. ويعدّ MacTutor وكلارك كلاهما 499 سنة التأليف.

ويسمّي الكتاب أيضا المكان الذي يعرض علمه. ففي ترجمة كلارك يقدم آريابهاتا “العلم الذي يُكرَّم في كوسوماپورا”. ويحدد ديفيد بينغري، في Dictionary of Scientific Biography، كوسوماپورا بباتاليبوترا، أي باتنا الحالية، العاصمة الإمبراطورية للغوبتا في معظم القرنين الرابع والخامس. أما الموقع الدقيق لكوسوماپورا فغير مؤكد، كما يضيف MacTutor. ويقول كلارك إنها “قد تكون مسقط رأسه وقد لا تكون”.

ومكان ولادته مفتوح. فهناك تقليد يعطي أسماكا، وهي منطقة موقعها نفسه محل خلاف، ويقوم على تعليق للشارح نيلاكانثا سوماسوتفان، المولود عام 1443. ويرى بينغري أنه على الأرجح خلط مع بهاسكارا الأول، ويقول MacTutor إن معظم المؤرخين يرون الآن أن نيلاكانثا خلط بين الاثنين. واقترح آخرون كيرالا أو تاميل نادو أو أندرا براديش أو البنغال. وينقل MacTutor خلاصة س. باراميشواران بأنه لا يمكن إصدار حكم نهائي في أي من المكانين.

وهناك حقيقتان أخريان من السير. فقد اعتقد العالم العربي البيروني أن هناك رياضيين اثنين باسم آريابهاتا، وبيّن ب. داتا عام 1926 أنهما شخص واحد، كما يقول MacTutor. ولم يبق من كتبه إلا كتاب واحد. ويذكر بينغري كتابا ثانيا مفقودا الآن، وضع نظاما لحساب اليوم من منتصف الليل.

كتاب صُمّم ليُحفظ

يتألف آريابهاتيا من أربعة أقسام: مجموعة قصيرة من الأبيات الافتتاحية تحوي الثوابت الفلكية، وفصل الرياضيات (غانيتابادا، 33 بيتا)، وفصل عن حساب الزمن والنماذج الكوكبية (25 بيتا)، وفصل عن الكرة والكسوف (50 بيتا). وعدد الأبيات يتوقف على طريقة عدّ المقدمة. فالعدّ عند MacTutor هو 118 بيتا، بينما تطبع نشرة كلارك 13 مقطعا افتتاحيا، تبلغ مع الـ108 في الأقسام الثلاثة الأخرى 121.

ويصف كلارك العمل بأنه خلاصة لا دليل عمل كامل. فهو يذكر الأجزاء المميزة من نظام آريابهاتا ويترك الإجراءات المعتادة التي كان يُتوقع أن يعرفها القراء. والرياضيات فيه قواعد في شعر مضغوط بلا براهين، فكان القارئ يحتاج إلى معلم أو شرح.

وقد تساءل العلماء عما إذا كان آريابهاتا هو من كتب كل بيت. فاقترح ب. ل. فان در فاردن، كما ينقل MacTutor، أن المقدمة ذات الأبيات العشرة كُتبت بعد الأقسام الثلاثة الأخرى، وأن أحد أعضاء مدرسة كوسوماپورا أضاف بضعة أبيات أخرى. ولم يجد كلارك سببا وجيها لرفض القسم الافتتاحي، ومن ذلك أن براهماغوبتا اقتبس منه ثلاثة مقاطع على الأقل عام 628 ونسبه إلى آريابهاتا. وحكم كلارك بأن العمل أصيل في مجمله. وكتب عام 1930 أنه، إن صحت نسبته، أقدم نص هندي في الرياضيات والفلك محفوظ يحمل اسم مؤلف بعينه.

أعداد مكتوبة مقاطع

كتب آريابهاتا الأعداد الكبيرة كلمات. فالحروف الساكنة تمثل القيم من 1 إلى 25 ثم من 30 حتى 100، والحروف المتحركة الملحقة بها تنقل القيمة إلى منازل أعلى. ويمكن لهذا النظام أن يبلغ 10 مرفوعة إلى القوة 18، بحسب MacTutor. ويلاحظ كلارك أن قاعدة الحروف المتحركة تحتمل أكثر من ترجمة، وأن أكبر عدد يستخدمه آريابهاتا نفسه لا يزيد على عشر منازل.

ومثاله الخاص هو عدد مرات دوران القمر حول الأرض في يوغا. فكلمة سنسكريتية واحدة، تُقرأ مقطعا مقطعا، تعطي كلارك القيم 6 و30 و300 و3,000 و50,000 و700,000 و7,000,000 و50,000,000. وتبلغ جملتها 57,753,336. ولا تستخدم هذه الكتابة إلا الأبيات الافتتاحية. أما في سائر الكتاب فتُستعمل ألفاظ الأعداد العادية.

ونظام كهذا يقوم على أن الموضع يحدد القيمة، وفصل الرياضيات يقول ذلك صراحة. فالبيت الثاني يسمّي فئات الأعداد من الواحد حتى ألف مليون ويقول إنها تسير “من منزلة إلى منزلة، كل منها عشرة أضعاف سابقتها”، في ترجمة كلارك. ويرى كلارك أنه “من الصعب تصديق أن كتابة حرفية وصفية كهذه لم تقم على كتابة بالقيمة المنزلية”. والتاريخ الأوسع للنظام العشري، منذ قواعد براهماغوبتا للصفر وما بعدها، في مقال الهند والصفر.

وهل كان لدى آريابهاتا رمز للصفر مسألة منفصلة، والمصادر منقسمة فيها. فكلمة kha، التي يستعملها لمنزلة، صارت كلمة سنسكريتية شائعة للصفر. ويقول كلارك إن مسألة استخدام رمز للصفر في زمن آريابهاتا ظلت موضع خلاف، واقترح أن الحساب ربما جرى على لوح مخطط بأعمدة، ويمثل العمود الفارغ الصفر. ويقول تاريخ الصفر في MacTutor إنه ابتكر نظام أعداد بلا صفر لكنه موضعي. أما المؤرخ جورج إفراه، الذي ينقل عنه MacTutor، فيرى أنه “من المرجح جدا أن آريابهاتا عرف علامة الصفر”، لأن استخراج الجذور عنده مستحيل بدونها. وتحديد جامعة أكسفورد بالكربون المشع لمخطوطة بخشالي، التي تستخدم نقطة لمنزلة فارغة، يرجع بأقدم موادها إلى القرن الثالث أو الرابع. وتقول صفحة MacTutor عن الأرقام الهندية إن تاريخ تلك المخطوطة محل خلاف. وأول صفر مؤرَّخ يقبله جميع المؤرخين هو نقش من غواليور عام 876، بحسب MacTutor.

الجذور والمجاميع والفائدة

تأتي قواعد الجذور في البيتين الرابع والخامس. وتبدأ قاعدة الجذر التربيعي، في ترجمة كلارك: “ينبغي دائما قسمة الـavarga على ضعف الجذر (التربيعي) للـvarga (السابق)”. وvarga هنا تعني مربعا وتعني أيضا المنازل ذات الأرقام الفردية بالعدّ من اليمين، وavarga تعني المنازل الزوجية. وتأخذ الطريقة، وهي تعمل على العدد منزلة منزلة، أرقام الجذر واحدا بعد واحد. ويحكم كلارك بأن العملية صحيحة في جوهرها مع ملاحظته صعوبات عدة في الصياغة. وتتبعها قاعدة للجذر التكعيبي بالأسلوب نفسه.

ويعطي البيت 22 مجموعين. فمجموع مربعات أول n من الأعداد الصحيحة يساوي سدس حاصل ضرب n وn زائد 1 وضعف n زائد 1. ومجموع مكعباتها يساوي مربع مجموع الأعداد نفسها. وبالرموز الحديثة هما n(n+1)(2n+1)/6 و(1 + 2 + … + n) تربيعا. ويعطي البيت 19 مجموع أي سلسلة حدود تزداد بخطوة ثابتة، ويعمل البيت 20 عكسيا من المجموع إلى عدد الحدود، وهذا يتضمن جذرا تربيعيا.

ويضم الفصل كذلك قاعدة لمسألة تُدرّ فيها الفائدة نفسها فائدة، وقاعدة الثلاثة (“اضرب الثمرة في الرغبة واقسم على المقياس”، كما يترجمها كلارك)، ومساحة المثلث بأنها العمود في نصف القاعدة. ومساحتا المثلث والدائرة صحيحتان، كما يلاحظ MacTutor.

المفتِّت

أكثر القواعد تقنية هما البيتان 32 و33. وهما يجدان عددا صحيحا يترك باقيين معلومين عند قسمته على عددين مختلفين. والمسألة هي حلول المعادلات من الصيغة by = ax + c أو by = ax ناقص c بأعداد صحيحة، بحسب وصف MacTutor، ومعالجة آريابهاتا هي الأقدم التي يعرفها. وقد واجه الفلكيون هذه المسألة عند حساب دورات الكواكب.

وتسمّى الطريقة كوتّاكا، أي “التفتيت”: تُفكَّك المسألة إلى مسائل جديدة بمعاملات أصغر فأصغر. وفي رواية MacTutor هي في جوهرها خوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر وترتبط بالكسور المتصلة. ومثال مبسط عدد يترك 2 عند قسمته على 5 و3 عند قسمته على 7، وهو 17. أما الحالات الفلكية فتتضمن قواسم أكبر بكثير. وفي ورقة لعام 2006 لمؤتمر RSA للأمن، يلاحظ سوباش كاك أن الخوارزمية التي تحل مثل هذه المتطابقات يمكن أن تحل محل مبرهنة الباقي الصينية في بعض الحالات.

وكان كلارك صريحا بشأن البيتين. فهما مضغوطان، ولم يجد في مهافيرا أو بهاسكارا أو آريابهاتا الثاني ما يعينه على قراءتهما. وأقرب نظير هو النص الأوفى لبراهماغوبتا، الفصل 18 من Brahmasphutasiddhanta (628). ولذلك تتبع قراءة كلارك شرح باراميشفارا وألفاظ براهماغوبتا، وترك للرياضيين أن يقرروا أي القاعدتين أقدم. أما شرح بهاسكارا الأول لعام 629 فلا يغطي إلا أبيات الرياضيات الثلاثة والثلاثين، كما يقول MacTutor، ويتناول المعادلات غير المحددة من الدرجة الأولى ويعطي أمثلة توضح قواعد آريابهاتا.

π وجدول الجيوب

يطلب البيت 10 من القارئ أن يضيف 4 إلى 100 ويضرب في 8 ويضيف 62,000، فيحصل على 62,832 محيطا لدائرة قطرها 20,000. وهذا يجعل النسبة 3.1416. ويسمّي البيت الناتج محيطا “تقريبيا”، في ترجمة كلارك. وبحسب MacTutor لا يشرح آريابهاتا كيف وجد الرقم وكان يستخدم في التطبيق الجذر التربيعي للعدد 10. واقترح أ. أحمد مضلعا ذا 256 ضلعا، وبيّن إ. م. بروينز أن مضاعفة الأضلاع لا تعطي هذه القيمة. وتفصيل أوفى في المقال السابق.

ويسرد القسم الأول 24 فرقا للجيب، من 225 و224 و222 نزولا إلى 7، لربع دائرة مقسم إلى خطوات من 225 دقيقة قوسية، أي 3 درجات و45 دقيقة. وبنصف قطر 3,438 دقيقة تبلغ الفروق الأربعة والعشرون مجموعا يساوي هذا الرقم تماما. وقسمة دائرة من 21,600 دقيقة على ضعف π تعطي نحو 3,438 أيضا. ويعطي البيت 12 قاعدة لبناء الجدول كله من المدخل الأول. ويلاحظ كلارك أن الطريقة الدقيقة التي حسب بها آريابهاتا الجيوب غير معروفة.

ويعطي كتاب Mahabhaskariya لبهاسكارا الأول لاحقا صيغة نسبية للجيب وينسبها إلى آريابهاتا. ويذكر MacTutor أقصى خطأ فيها أقل من واحد في المئة. ويتتبع MacTutor في صفحته عن الدوال المثلثية الكلمة السنسكريتية التي استعملها آريابهاتا لنصف الوتر، jya، عبر العربية jiba ثم jaib إلى اللاتينية sinus.

حيث تختلف المصادر في الرياضيات

يُحكم على قاعدتين في الفصل بأنهما خاطئتان. فالبيتان 6 و7 يعطيان حجم الهرم وحجم الكرة خطأً، كما يقول كلارك، ويذكر MacTutor أن معظم المؤرخين يعدّونهما خاطئتين. وجادل ك. إلفيرينغ بأن ترجمة مختلفة لمصطلحين تقنيين تجعلهما صحيحتين. ويلاحظ MacTutor أن قراءته تتطلب أخذ المصطلحين بمعنيين غير مألوفين، ولذلك تبقى المسألة مفتوحة. وأضاف كلارك أن براهماغوبتا، الذي انتقد آريابهاتا نحو ستين مرة، في الغالب في الفلك وفي الخروج على التقليد، لم يقل شيئا عن فصل الرياضيات، وهو ما رأى كلارك أنه قد يعني فحسب أنه لم يجد ما يعترض عليه.

الشروح من القرن السادس حتى 1854

شُرح الكتاب أكثر من اثني عشر قرنا. ويسرد بينغري الشارحين: برابهاكارا نحو 525، وعمله مفقود، ثم بهاسكارا الأول عام 629، وسومشفارا نحو 1040، وسوريادفا ياجفان من كيرالا (مولود عام 1191)، وباراميشفارا (نحو 1400 إلى 1450)، ونيلاكانثا سوماسوتفان (مولود عام 1443)، الذي تشكل مدرسته الكيرالية موضوع مقال منفصل عن المتسلسلات والتفاضل والتكامل، وصولا إلى كودانداراما من بوبيلي، الذي يعود شرحه التيلوغوي إلى نحو 1854. ويلاحظ بينغري أن علماء جنوب الهند درسوه بعناية خاصة. وتُرجم الكتاب إلى العربية نحو عام 800 باسم Zij al-Arjabhar، ويقول بينغري إن جميع اقتباسات البيروني جاءت من تلك الترجمة. ونشر ه. كيرن النص السنسكريتي مع شرح باراميشفارا في ليدن عام 1874، وتبعتها ترجمة كلارك الإنجليزية عام 1930.

ووفق MacTutor، سمّى بهاسكارا الأول آريابهاتا المعلم الذي نقل العلوم الثلاثة: الرياضيات والحركيات وعلم الكرة. وسُمّي باسمه أول قمر صناعي هندي، أُطلق في 19 أبريل 1975، كما تسجل صفحة ISRO. وفي عام 1979 أقر الاتحاد الفلكي الدولي اسم آريابهاتا لفوهة على القمر، تدرجها قائمة USGS بقطر 21.89 كيلومترا.