கிபி 499இல் ஆர்யபட்டர் இலக்கம் இலக்கமாக மூலம் காணும் முறை, தொடர் கூட்டுத்தொகைகள், 24 உறுப்புகள் கொண்ட சைன் அட்டவணை, சமன்பாடு தீர்க்கும் முறை ஆகியவற்றை ஏறத்தாழ 120 சுலோகங்களுக்குள் அடக்கினார்

499இல் முடிக்கப்பட்ட ஆர்யபட்டீயம், அன்றைய எண்கணிதம், இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் ஆகியவற்றை 33 சுலோகங்கள் கொண்ட ஒரு கணித அத்தியாயத்துக்குள் அடக்குகிறது. செயின்ட் ஆண்ட்ரூஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் கணித வரலாற்றுக் காப்பகமான மேக்டுடர், நிரூபணம் இல்லாமல் கூறப்படும் அந்தச் சுலோகங்களில் 66 விதிகளைக் கணக்கிடுகிறது. அதன் ஆசிரியர் ஆர்யபட்டர் தன் வயதை 23 என்று தாமே சொல்கிறார்; அதன்படி அவர் பிறந்த ஆண்டு 476.

இந்தக் கட்டுரை கணிதத்தைப் பற்றியது. சுழலும் பூமியும் கிரகண விளக்கமும் தனிக் கட்டுரையில் உள்ளன; அவர் பெயரைத் தாங்கிய செயற்கைக்கோள் இன்னொன்றில்.

குசுமபுரத்தில் ஒரு 23 வயது இளைஞர்

ஆர்யபட்டர் தன் காலத்தை நூலின் மூன்றாவது அத்தியாயத்தில் குறிக்கிறார். சிகாகோ பல்கலைக்கழக அச்சகம் வெளியிட்ட டபிள்யூ. இ. கிளார்க்கின் 1930 ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பில், அந்தச் சுலோகம் 3,600 ஆண்டுகளையும், யுகம் என்ற பெரும் வானியல் சுழற்சியின் முக்கால் பங்கையும் எண்ணுகிறது; தன் வாழ்க்கையில் இருபத்து மூன்று ஆண்டுகள் கடந்துவிட்டன என்றும் சொல்கிறது. பிற்கால வானியலாளர்கள் செய்ததுபோல ஆர்யபட்டரும் கலியுகத்தை கிமு 3102இல் தொடங்கினார் என்றால், அந்தச் சுலோகம் கிபி 499க்கு வந்து சேர்கிறது என்று கிளார்க் கணக்கிடுகிறார். பதினைந்தாம் நூற்றாண்டு உரையாசிரியரான பரமேஸ்வரர், அதற்கு முந்தைய ஓர் உரையை மேற்கோள் காட்டுவதாகவும், அது 499ஐ நூலின் கிரக அட்டவணைகள் துல்லியமாக அமையும் ஆண்டாக வாசிக்கிறது என்றும் அவர் சேர்க்கிறார். மேக்டுடரும் கிளார்க்கும் 499ஐ நூல் எழுதப்பட்ட ஆண்டாகவே கொள்கின்றனர்.

நூல் எந்த இடத்தின் அறிவை எடுத்துரைக்கிறதோ அந்த இடத்தையும் பெயரிடுகிறது. கிளார்க்கின் மொழிபெயர்ப்பில் ஆர்யபட்டர் “குசுமபுரத்தில் மதிக்கப்படும் அறிவியலை” முன்வைக்கிறார். அறிவியல் வாழ்க்கை வரலாற்று அகராதியில் எழுதும் டேவிட் பிங்க்ரீ, குசுமபுரத்தை, நான்காம், ஐந்தாம் நூற்றாண்டுகளின் பெரும்பகுதியில் குப்தர்களின் பேரரசுத் தலைநகராக இருந்த பாடலிபுத்திரம், அதாவது இன்றைய பாட்னா, என்று அடையாளம் காண்கிறார். குசுமபுரத்தின் சரியான இடம் உறுதியில்லை என்று மேக்டுடர் சேர்க்கிறது. அது “அவர் பிறந்த இடமாக இருக்கலாம், இல்லாமலும் இருக்கலாம்” என்கிறார் கிளார்க்.

அவர் எங்கே பிறந்தார் என்பது திறந்த கேள்வி. அஸ்மகம் என்ற பகுதி, அதன் இடமே விவாதத்துக்குரியது, என்று சொல்லும் ஒரு மரபு, 1443இல் பிறந்த உரையாசிரியர் நீலகண்ட சோமசுத்வனின் ஒரு குறிப்பின் மீது நிற்கிறது. பிங்க்ரீ அதை முதலாம் பாஸ்கரருடன் ஏற்பட்ட குழப்பமாகவே இருக்கலாம் என்று வாசிக்கிறார்; நீலகண்டர் இருவரையும் கலந்துவிட்டார் என்றே இன்று பெரும்பாலான வரலாற்றாசிரியர்கள் கருதுகின்றனர் என்கிறது மேக்டுடர். வேறு சிலர் கேரளா, தமிழ்நாடு, ஆந்திரப் பிரதேசம் அல்லது வங்காளத்தை முன்மொழிந்துள்ளனர். இரண்டு இடங்களில் எதையும் இறுதியாகத் தீர்ப்பளிக்க முடியாது என்ற எஸ். பரமேஸ்வரனின் முடிவை மேக்டுடர் மேற்கோள் காட்டுகிறது.

வாழ்க்கை வரலாறுகளில் இருந்து மேலும் இரண்டு தகவல்கள். அரேபிய அறிஞர் அல்-பிரூனி ஆர்யபட்டர் என்ற பெயரில் இரண்டு கணிதவியலாளர்கள் இருந்ததாக நம்பினார்; ஆனால் அவர்கள் ஒருவரே என்று 1926இல் பி. தத்தா காட்டினார் என்கிறது மேக்டுடர். மேலும், அவர் எழுதிய நூல்களில் ஒன்று மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. நடு இரவிலிருந்து நாளைக் கணக்கிடும் ஒரு முறையை விவரித்த, இப்போது தொலைந்துவிட்ட இரண்டாவது நூலை பிங்க்ரீ பட்டியலிடுகிறார்.

மனப்பாடம் செய்யும்படி கட்டப்பட்ட நூல்

ஆர்யபட்டீயத்துக்கு நான்கு பகுதிகள் உண்டு: வானியல் மாறிலிகளைக் கொண்ட சிறிய தொடக்கச் சுலோகத் தொகுப்பு, கணித அத்தியாயம் (கணிதபாதம், 33 சுலோகங்கள்), காலக் கணக்கீடு மற்றும் கிரக மாதிரிகள் பற்றிய அத்தியாயம் (25 சுலோகங்கள்), கோளம் மற்றும் கிரகணங்கள் பற்றிய அத்தியாயம் (50 சுலோகங்கள்). மொத்தச் சுலோகங்கள் எத்தனை என்பது தொடக்கப் பகுதி எப்படி எண்ணப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது. மேக்டுடரின் எண்ணிக்கை 118 சுலோகங்கள்; கிளார்க்கின் பதிப்பு 13 தொடக்கச் செய்யுள்களை அச்சிடுகிறது, மற்ற மூன்று பகுதிகளின் 108உடன் சேர்த்தால் 121.

கிளார்க்கின் விவரிப்பில், இந்நூல் முழுமையான செயல்முறை நூலாக இல்லாமல் ஒரு சுருக்கமாகவே உள்ளது. ஆர்யபட்டரின் முறையின் தனித்தன்மை வாய்ந்த பகுதிகளைக் கூறுகிறது; வாசகர்களுக்கு ஏற்கெனவே தெரியும் என்று எதிர்பார்க்கப்பட்ட வழக்கமான செயல்முறைகளை விட்டுவிடுகிறது. கணிதம், நிரூபணம் இல்லாத, அழுத்தப்பட்ட சுலோகங்களில் விதிகளாகத் தரப்படுகிறது; எனவே வாசகருக்கு ஓர் ஆசிரியரோ உரையோ தேவைப்பட்டது.

ஆர்யபட்டரே ஒவ்வொரு சுலோகத்தையும் எழுதினாரா என்று அறிஞர்கள் கேட்டுள்ளனர். பத்துச் சுலோகங்கள் கொண்ட தொடக்கப் பகுதி மற்ற மூன்று பகுதிகளுக்குப் பிறகு எழுதப்பட்டதென்றும், வேறு சில சுலோகங்கள் குசுமபுரப் பள்ளியின் ஓர் உறுப்பினரால் சேர்க்கப்பட்டன என்றும் பி. எல். வான் டெர் வேர்டன் கருதினார் என்று மேக்டுடர் தெரிவிக்கிறது. தொடக்கப் பகுதியை நிராகரிக்க நல்ல காரணம் எதையும் கிளார்க் காணவில்லை; ஒரு காரணம், பிரம்மகுப்தர் 628இல் அதிலிருந்து குறைந்தது மூன்று பத்திகளை மேற்கோள் காட்டி அதை ஆர்யபட்டருக்கு உரியதாகக் கூறினார். நூல் பெரும்பாலும் உண்மையானது என்று கிளார்க் தீர்ப்பளித்தார். ஆசிரியர் உரிமை நிலைத்தால், ஒரு தனி ஆசிரியரின் பெயரைத் தாங்கி எஞ்சியுள்ள மிகப் பழைய இந்தியக் கணித, வானியல் நூல் இதுவே என்று அவர் 1930இல் எழுதினார்.

எழுத்துக்களாக எழுதப்பட்ட எண்கள்

ஆர்யபட்டர் பெரிய எண்களைச் சொற்களாக எழுதினார். மெய்யெழுத்துக்கள் 1 முதல் 25 வரையிலும், பிறகு 30 முதல் 100 வரையிலும் உள்ள மதிப்புகளைக் குறிக்கின்றன; அவற்றுடன் சேரும் உயிர்கள் மதிப்பை உயர்ந்த இடங்களுக்கு நகர்த்துகின்றன. இந்த அமைப்பு 10இன் 18ஆம் அடுக்கு வரை செல்ல முடியும் என்கிறது மேக்டுடர். உயிர்களுக்கான விதியை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விதங்களில் மொழிபெயர்க்கலாம் என்றும், ஆர்யபட்டரே பயன்படுத்தும் மிகப் பெரிய எண்ணுக்குப் பத்து இடங்களே உள்ளன என்றும் கிளார்க் குறிப்பிடுகிறார்.

அவரது சொந்த எடுத்துக்காட்டு, ஒரு யுகத்தில் சந்திரன் பூமியைச் சுற்றும் முறைகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு சமஸ்கிருதச் சொல்லை அசை அசையாக வாசித்தால், கிளார்க்குக்கு 6, 30, 300, 3,000, 50,000, 700,000, 7,000,000, 50,000,000 ஆகிய மதிப்புகள் கிடைக்கின்றன. அவை சேர்ந்து 57,753,336 ஆகின்றன. தொடக்கச் சுலோகங்கள் மட்டுமே இந்தக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன; மற்ற இடங்களில் நூல் வழக்கமான எண் சொற்களையே பயன்படுத்துகிறது.

இதுபோன்ற ஓர் அமைப்பு, இடமே மதிப்பை நிர்ணயிக்கிறது என்பதைச் சார்ந்தது; கணித அத்தியாயம் அதை நேரடியாகவே சொல்கிறது. சுலோகம் 2, ஒன்றிலிருந்து ஆயிரம் மில்லியன் வரையிலான எண் வகுப்புகளுக்குப் பெயரிட்டு, அவை “இடத்துக்கு இடம் முந்தையதைவிடப் பத்து மடங்காக” செல்கின்றன என்று கூறுகிறது, கிளார்க்கின் மொழிபெயர்ப்பில். “இத்தகைய விவரிக்கும் எழுத்து எண்முறை இட மதிப்பு எண்முறையின் மீது அமையாமல் இருந்தது என்று நம்புவது கடினம்” என்று கிளார்க் தீர்ப்பளித்தார். பிரம்மகுப்தரின் பூஜ்ஜியம் பற்றிய விதிகளிலிருந்து தொடங்கும் தசம அமைப்பின் பரந்த வரலாறு இந்தியாவும் பூஜ்ஜியமும் பற்றிய கட்டுரையில் உள்ளது.

ஆர்யபட்டருக்குப் பூஜ்ஜியத்துக்கான குறி இருந்ததா என்பது தனிக் கேள்வி; ஆதாரங்கள் இதில் பிளவுபடுகின்றன. இடத்தைக் குறிக்க அவர் பயன்படுத்தும் க (kha) என்ற சொல், பூஜ்ஜியத்துக்கான பொதுச் சமஸ்கிருதச் சொல்லாக ஆனது. ஆர்யபட்டர் காலத்தில் பூஜ்ஜியக் குறி பயன்பாட்டில் இருந்ததா என்பது இன்னும் விவாதத்தில் உள்ளது என்கிறார் கிளார்க்; பூஜ்ஜியத்துக்கு ஒரு வெற்று நிரலுடன், நிரல்களாகக் கோடிட்ட பலகையில் கணக்கீடு செய்யப்பட்டிருக்கலாம் என்றும் அவர் கருதினார். பூஜ்ஜியம் இல்லாத ஆனால் இட அடிப்படையிலான ஓர் எண் முறையை அவர் உருவாக்கினார் என்கிறது மேக்டுடரின் பூஜ்ஜிய வரலாறு. மேக்டுடர் மேற்கோள் காட்டும் வரலாற்றாசிரியர் ஜார்ஜஸ் இஃப்ரா, “ஆர்யபட்டர் பூஜ்ஜியக் குறியை அறிந்திருந்தார் என்பது மிகவும் சாத்தியம்” என்கிறார்; ஏனெனில் அது இல்லாமல் அவரது மூலம் காணும் முறை சாத்தியமில்லை. வெற்று இடத்துக்குப் புள்ளியைப் பயன்படுத்தும் பக்ஷாலி கையெழுத்துப் படிவத்தைப் பற்றிய ஆக்ஸ்போர்டின் கார்பன் காலக் கணிப்பு, அதன் மிகப் பழைய பொருளை மூன்றாம் அல்லது நான்காம் நூற்றாண்டு வரை பின்னோக்கிக் கொண்டு செல்கிறது. அந்தக் கையெழுத்துப் படிவத்தின் காலம் விவாதத்தில் உள்ளது என்கிறது மேக்டுடரின் இந்திய எண்கள் பக்கம். எல்லா வரலாற்றாசிரியர்களும் ஏற்கும் முதல் தேதியிட்ட பூஜ்ஜியம் 876ஆம் ஆண்டின் குவாலியர் கல்வெட்டு என்கிறது மேக்டுடர்.

மூலங்கள், கூட்டுத்தொகைகள், வட்டி

மூலங்களுக்கான விதிகள் சுலோகம் 4, 5இல் வருகின்றன. வர்க்கமூல விதி, கிளார்க்கின் மொழிபெயர்ப்பில் இப்படித் தொடங்குகிறது: “அவர்கத்தை, (முந்தைய) வர்க்கத்தின் (வர்க்க) மூலத்தின் இரு மடங்கால் எப்போதும் வகுக்க வேண்டும்.” இங்கே வர்க என்பது வர்க்கத்தையும், வலமிருந்து எண்ணும் ஒற்றைப்படை இடங்களையும் குறிக்கிறது; அவர்க என்பது இரட்டைப்படை இடங்கள். ஓர் எண்ணை இடம் இடமாகக் கடந்து செல்லும் இந்த முறை, மூலத்தின் இலக்கங்களை ஒவ்வொன்றாக எடுக்கிறது. சொற்களில் பல சிக்கல்கள் இருப்பதைக் குறிப்பிட்டபடியே, இந்த செயல்முறை அடிப்படையில் சரியானது என்று கிளார்க் தீர்ப்பளித்தார். அதே பாணியில் கனமூல விதி தொடர்கிறது.

சுலோகம் 22 இரண்டு கூட்டுத்தொகைகளைத் தருகிறது. முதல் n முழு எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை, n, n கூட்டல் 1, இரண்டு n கூட்டல் 1 ஆகியவற்றின் பெருக்கலில் ஆறில் ஒரு பங்கு. அவற்றின் கனங்களின் கூட்டுத்தொகை, அந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம். நவீனக் குறியீட்டில் அவை n(n+1)(2n+1)/6, மற்றும் (1 + 2 + … + n) இன் வர்க்கம். சுலோகம் 19 நிலையான படியில் உயரும் ஒரு தொடரின் எந்த உறுப்பு வரிசையின் கூட்டுத்தொகையையும் தருகிறது; சுலோகம் 20 மொத்தத்திலிருந்து பின்னோக்கி உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்குச் செல்கிறது, அதில் ஒரு வர்க்கமூலம் ஈடுபடுகிறது.

வட்டியே வட்டியை ஈட்டும் சிக்கலுக்கான ஒரு விதி, மும்மடங்கு விதி (“பலனை விருப்பத்தால் பெருக்கி அளவால் வகுக்க” என்று கிளார்க் மொழிபெயர்க்கிறார்), செங்குத்தை அடியின் பாதியால் பெருக்கிய முக்கோணப் பரப்பு ஆகியவையும் இந்த அத்தியாயத்தில் உள்ளன. முக்கோணம் மற்றும் வட்டத்தின் பரப்புகள் சரியானவை என்று மேக்டுடர் குறிப்பிடுகிறது.

தூளாக்கி

மிகத் தொழில்நுட்பமான விதிகள் சுலோகம் 32, 33. இரண்டு வெவ்வேறு எண்களால் வகுக்கும்போது கொடுக்கப்பட்ட மீதிகளை விடுக்கும் ஒரு முழு எண்ணை அவை காண்கின்றன. by = ax + c அல்லது by = ax கழித்தல் c வடிவச் சமன்பாடுகளுக்கு முழு எண் தீர்வுகளைக் காண்பதே சிக்கல் என்கிறது மேக்டுடரின் விவரிப்பு; ஆர்யபட்டரின் முறையே அது அறிந்த மிகப் பழைய சிகிச்சை. கிரகங்களின் சுற்றுக் காலங்களைக் கணக்கிடும்போது வானியலாளர்கள் இந்தக் கேள்வியைச் சந்தித்தனர்.

அந்த முறைக்கு குட்டகம் என்று பெயர், “தூளாக்குதல்”: சிக்கல் மேலும் மேலும் சிறிய கெழுக்கள் கொண்ட புதிய சிக்கல்களாக உடைக்கப்படுகிறது. மேக்டுடரின் கணக்கில் இது அடிப்படையில் மீப்பெரு பொது வகுத்திக்கான யூக்ளிடின் படிமுறை; தொடர் பின்னங்களுடனும் தொடர்புடையது. 5ஆல் வகுக்கும்போது 2ஐயும் 7ஆல் வகுக்கும்போது 3ஐயும் விடுக்கும் எண் ஒரு சிறிய எடுத்துக்காட்டு, அது 17. வானியல் சார்ந்த நிலைகளில் மிகப் பெரிய வகுஎண்கள் ஈடுபடுகின்றன. ஆர்எஸ்ஏ பாதுகாப்பு மாநாட்டுக்கான 2006 ஆய்வுக் கட்டுரையில், இத்தகைய ஒத்தமைவுகளைத் தீர்க்கும் படிமுறை சில சூழல்களில் சீன மீதித் தேற்றத்துக்கு மாற்றாக அமையும் என்று சுபாஷ் காக் குறிப்பிடுகிறார்.

இரண்டு சுலோகங்களைப் பற்றியும் கிளார்க் வெளிப்படையாக இருந்தார். அவை அழுத்தப்பட்டவை; அவற்றை வாசிக்க மகாவீரர், பாஸ்கரர், இரண்டாம் ஆர்யபட்டர் ஆகியோரிடம் எந்த உதவியையும் அவர் காணவில்லை. மிக நெருங்கிய இணை பிரம்மகுப்தரின் பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தம் (628), அத்தியாயம் 18இன் முழுமையான உரை. எனவே கிளார்க்கின் வாசிப்பு பரமேஸ்வரரின் உரையையும் பிரம்மகுப்தரின் சொற்களையும் பின்பற்றுகிறது; இரண்டு விதிகளில் எது முந்தையது என்பதைக் கணிதவியலாளர்கள் முடிவு செய்யட்டும் என்று அவர் விட்டுவிட்டார். முதலாம் பாஸ்கரரின் கிபி 629 உரை 33 கணித சுலோகங்களை மட்டுமே உள்ளடக்குகிறது என்கிறது மேக்டுடர்; அது முதல் படி நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகளை எடுத்துக்கொண்டு, ஆர்யபட்டரின் விதிகளை விளக்கும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருகிறது.

பையும் சைன் அட்டவணையும்

சுலோகம் 10 வாசகரிடம் 100உடன் 4ஐக் கூட்டி, 8ஆல் பெருக்கி, 62,000ஐக் கூட்டச் சொல்கிறது; அது 20,000 விட்டம் கொண்ட வட்டத்தின் சுற்றளவாக 62,832ஐத் தருகிறது. அது விகிதத்தை 3.1416 ஆக்குகிறது. கிளார்க்கின் மொழிபெயர்ப்பில், அந்தச் சுலோகம் முடிவை சுற்றளவு என்று “தோராயமாக” அழைக்கிறது. மேக்டுடரின்படி, அந்த எண்ணை எப்படிக் கண்டார் என்பதை ஆர்யபட்டர் விளக்கவில்லை; நடைமுறையில் 10இன் வர்க்கமூலத்தைப் பயன்படுத்தினார். 256 பக்கங்கள் கொண்ட பலகோணத்தை ஏ. அகமது முன்மொழிந்தார்; பக்கங்களை இரட்டிப்பாக்குவதால் அந்த மதிப்பைப் பெற முடியாது என்று இ. எம். புரூயின்ஸ் காட்டினார். முழுமையான விவரிப்பு முந்தைய கட்டுரையில் உள்ளது.

முதல் பகுதி 24 சைன் வேறுபாடுகளைப் பட்டியலிடுகிறது; 225, 224, 222 தொடங்கி 7 வரை, 225 வில் நிமிடங்கள், அதாவது 3 டிகிரி 45 நிமிடங்கள், படிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட கால்வட்டத்துக்கு. 3,438 நிமிடங்கள் ஆரத்துடன், அந்த 24 வேறுபாடுகளும் கூட்டினால் சரியாக அந்த எண்ணைத் தருகின்றன. 21,600 நிமிடங்கள் கொண்ட வட்டத்தை பையின் இரு மடங்கால் வகுத்தாலும் ஏறத்தாழ 3,438 வருகிறது. முதல் உறுப்பிலிருந்து முழு அட்டவணையையும் கட்டுவதற்கான விதியை சுலோகம் 12 தருகிறது. சைன்களைக் கணக்கிட ஆர்யபட்டர் பயன்படுத்திய சரியான முறை தெரியவில்லை என்று கிளார்க் குறிப்பிட்டார்.

முதலாம் பாஸ்கரரின் மகாபாஸ்கரீயம் பின்னர் சைனுக்கு ஒரு விகிதமுறு சூத்திரத்தைத் தந்து அதை ஆர்யபட்டருக்கு உரியதாகக் கூறுகிறது. அதில் அதிகபட்சப் பிழை ஒரு சதவீதத்துக்குள் என்று மேக்டுடர் தெரிவிக்கிறது. அரை நாணுக்கான ஆர்யபட்டரின் சமஸ்கிருதச் சொல்லான ஜ்யா அரபியில் ஜிபா, பிறகு ஜைப் ஆகி, இலத்தீன் சைனஸ் ஆனதை மேக்டுடரின் முக்கோணவியல் சார்புகள் பக்கம் தடம் காண்கிறது.

கணிதத்தில் ஆதாரங்கள் எங்கே வேறுபடுகின்றன

அத்தியாயத்தில் இரண்டு விதிகள் தவறானவை என்று மதிப்பிடப்படுகின்றன. சுலோகம் 6, 7 ஒரு பிரமிடின் கன அளவையும் கோளத்தின் கன அளவையும் தவறாகத் தருகின்றன என்கிறார் கிளார்க்; பெரும்பாலான வரலாற்றாசிரியர்கள் அவற்றைத் தவறு என்றே கொள்கின்றனர் என்கிறது மேக்டுடர். இரண்டு தொழில்நுட்பச் சொற்களுக்கு வேறு மொழிபெயர்ப்பு தந்தால் இரண்டும் சரியாகும் என்று கே. எல்ஃபெரிங் வாதிட்டார். அந்தச் சொற்களை அசாதாரணப் பொருள்களில் கொள்ள அவரது வாசிப்பு தேவைப்படுகிறது என்று மேக்டுடர் கவனிக்கிறது; எனவே கேள்வி திறந்தே உள்ளது. ஆர்யபட்டரை ஏறத்தாழ அறுபது முறை விமர்சித்த பிரம்மகுப்தர், பெரும்பாலும் வானியல் குறித்தும் மரபிலிருந்து விலகியது குறித்தும், கணித அத்தியாயத்தைப் பற்றி எதுவும் சொல்லவில்லை; அதில் ஆட்சேபிக்க அவர் எதையும் காணவில்லை என்பதை மட்டுமே அது குறிக்கலாம் என்று கிளார்க் கருதினார்.

ஆறாம் நூற்றாண்டு முதல் 1854 வரை உரைகள்

பன்னிரண்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு மேல் இந்நூல் விளக்கப்பட்டது. உரையாசிரியர்களை பிங்க்ரீ பட்டியலிடுகிறார்: ஏறத்தாழ 525இல் பிரபாகரர், அவரது படைப்பு தொலைந்துவிட்டது; பிறகு 629இல் முதலாம் பாஸ்கரர்; ஏறத்தாழ 1040இல் சோமேஸ்வரர்; கேரளாவின் சூர்யதேவ யஜ்வன் (பிறப்பு 1191); பரமேஸ்வரர் (ஏறத்தாழ 1400 முதல் 1450 வரை); நீலகண்ட சோமசுத்வன் (பிறப்பு 1443), அவரது கேரளப் பள்ளி தொடர்களும் நுண்கணிதமும் பற்றிய தனிக் கட்டுரையின் பொருள்; பிறகு பொப்பிலியின் கோதண்டராமர், அவரது தெலுங்கு உரை ஏறத்தாழ 1854 காலத்தது. தென்னிந்திய அறிஞர்கள் குறிப்பாக நெருக்கமாகப் படித்தனர் என்று பிங்க்ரீ குறிப்பிடுகிறார். ஏறத்தாழ 800இல் இந்நூல் ஸீஜ் அல்-அர்ஜபஹர் என்ற பெயரில் அரபியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது; அல்-பிரூனியின் மேற்கோள்கள் அனைத்தும் அந்த மொழிபெயர்ப்பிலிருந்தே வந்தவை என்கிறார் பிங்க்ரீ. எச். கெர்ன் சமஸ்கிருத மூலத்தை பரமேஸ்வரரின் உரையுடன் 1874இல் லெய்டனில் வெளியிட்டார்; கிளார்க்கின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு 1930இல் தொடர்ந்தது.

கணிதம், இயக்கவியல், கோளவியல் என்ற மூன்று அறிவியல்களைக் கடத்திய ஆசான் என்று ஆர்யபட்டரை முதலாம் பாஸ்கரர் அழைத்தார் என்கிறது மேக்டுடர். 1975 ஏப்ரல் 19 அன்று ஏவப்பட்ட இந்தியாவின் முதல் செயற்கைக்கோளுக்கு அவர் பெயர் சூட்டப்பட்டது என்று இஸ்ரோவின் பக்கம் பதிவு செய்கிறது. 1979இல் சர்வதேச வானியல் ஒன்றியம் ஒரு நிலவுப் பள்ளத்துக்கு ஆர்யபட்டர் என்ற பெயரை அங்கீகரித்தது; அது 21.89 கிலோமீட்டர் அகலம் கொண்டது என்று யுஎஸ்ஜிஎஸ் பெயர்ப் பட்டியல் தருகிறது.