இரண்டாம் பாஸ்கரர் 1150இல் சித்தாந்த சிரோமணியை நிறைவு செய்தார்; 1657இல் ஃபெர்மா ஐரோப்பாவுக்குச் சவாலாக வைத்த சமன்பாட்டை அதன் இயற்கணிதம் தீர்த்தது

இரண்டாம் பாஸ்கரர் சித்தாந்த சிரோமணியை கிபி 1150இல் நிறைவு செய்தார்; தன் கணக்குப்படி அப்போது அவருக்கு வயது 36. அதன் இயற்கணிதப் பகுதியான பீஜகணிதம் 61x² + 1 = y² என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, முழு எண்களில் மிகச் சிறிய விடையைத் தருகிறது: x = 226,153,980, y = 1,766,319,049. இதே சமன்பாட்டை ஐரோப்பாவிலும் இங்கிலாந்திலும் உள்ள கணிதவியலாளர்களுக்கு 1657இல் பியர் ட ஃபெர்மா ஒரு சவாலாக வைத்தார் என்று செயின்ட் ஆண்ட்ரூஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் கணித வரலாற்றுக் காப்பகமான மேக்டுடர் கூறுகிறது.

அதே நூலில் லீலாவதி உள்ளது; செய்யுளில் கணக்குகளாக எழுதப்பட்ட எண்கணிதம், வடிவியல் பற்றிய 13 அத்தியாய உரை அது. கிரகணங்கள், கிரக நிலைகள், கருவிகள் பற்றிய இரண்டு பகுதி வானியலும் உள்ளது. அறிவியல் வாழ்க்கை வரலாற்று அகராதியில் டேவிட் பிங்க்ரீ லீலாவதிக்கு 35 உரைகளைப் பட்டியலிடுகிறார்; அவற்றில் முதலாவது 1356இல் நாராயணர் எழுதியது. ஏறத்தாழ 1400இல் சைனுக்கும் பைக்கும் முடிவிலாத் தொடர்களைக் கண்டுபிடித்த கேரளக் கணிதவியலாளர்கள் தனிக் கட்டுரையின் பொருள். இந்தக் கட்டுரை பாஸ்கரரைப் பின்தொடர்கிறது.

அவர் தன்னைப் பற்றிச் சொல்வது

லீலாவதியையும் பீஜகணிதத்தையும் 1817இல் ஆங்கிலத்துக்கு மொழிபெயர்த்த ஹென்றி தாமஸ் கோல்ப்ரூக், பாஸ்கரரின் நூலின் காலம் “அசாதாரணத் துல்லியத்துடன் உறுதிசெய்யப்பட்டுள்ளது” என்று எழுதினார். தான் அதை சக ஆண்டு 1072இல், 36 வயதில் முடித்ததாகவும், சக 1036இல் பிறந்ததாகவும் பாஸ்கரர் நூலில் சொல்கிறார் என்று கோல்ப்ரூக் தெரிவிக்கிறார். அது நூலுக்கு 1150ஐயும், பெரும்பாலான நவீன மூலங்களில் அவரது பிறப்புக்கு 1114ஐயும் தருகிறது. பிங்க்ரீயின் பதிவு 1115 என்ற தலைப்பிடப்பட்டுள்ளது. வானியல் நிலைகளைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு சிறிய கைநூலான கரணகுதூகலம் 1183 தேதியிடப்பட்டது என்று பிங்க்ரீயின் பதிவும் வானியலாளர்களின் வாழ்க்கை வரலாற்று என்சைக்ளோபீடியாவும் இரண்டும் கூறுகின்றன.

அவரது தந்தை மகேஸ்வரர், சாண்டில்ய வம்சத்தவர்; அவர் சோதிடம் பற்றி ஒரு பிரபலமான நூல் எழுதினார் என்று பிங்க்ரீ குறிப்பிடுகிறார். சித்தாந்த சிரோமணியின் நிறைவுச் செய்யுள்கள் அவரது நகரத்தை விஜ்ஜடவிடா என்று பெயரிடுகின்றன. பிங்க்ரீ அதை இன்றைய கர்நாடகத்தில் உள்ள பீஜப்பூர் என்று வாசிக்கிறார், “இந்த அடையாளம் சரியாக இருந்தால்” என்ற எச்சரிக்கையையும் சேர்க்கிறார். மேக்டுடரும் என்சைக்ளோபீடியாவும் அதே நகரமான விஜயபுராவை அவரது பிறப்பிடமாகத் தருகின்றன. வராகமிஹிரரும் பிரம்மகுப்தரும் பணியாற்றிய, இந்தியாவின் அன்றைய முன்னணிக் கணித மையமான உஜ்ஜைனில் அவர் வானியல் ஆய்வகத்தின் தலைவரானார் என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது. அவரது இறப்புக்கு உஜ்ஜைனையும் 1185ஐயும் மேக்டுடரும் என்சைக்ளோபீடியாவும் ஏற்கின்றன.

குடும்பம் அதே பணியில் தொடர்ந்தது. பாஸ்கரரின் மகன் லட்சுமிதரரை மன்னர் ஜைத்ரபாலன் பண்டிதர்களின் தலைவராக நியமித்தார் என்றும், பேரன் சங்கதேவர் மன்னர் சிங்கணனின் தலைமை சோதிடர் என்றும் பிங்க்ரீ பெயரிடுகிறார்.

லீலாவதி: செய்யுளில் பதிமூன்று அத்தியாயங்கள் கணக்குகள்

அத்தியாயம் அத்தியாயமாக மேக்டுடர் பட்டியலிடுவது: வரையறைகள், எண்கணிதச் சொற்கள், வட்டி, கூட்டுத் தொடர்கள், பெருக்குத் தொடர்கள், தள வடிவியல், கனவடிவியல், நிழற்குச்சியின் நிழல் (நிழலிலிருந்து நேரத்தையும் திசையையும் அறியப் பயன்படும் செங்குத்துக் குச்சி), குட்டகம், சேர்மானங்கள். தூளாக்கி என்று அறியப்படும் குட்டகம், விடைகள் முழு எண்களாக இருக்க வேண்டிய சமன்பாடுகளுக்கான முறை; அதை ஆர்யபட்டரின் கணித அத்தியாயம் 499இல் வகுத்திருந்தது.

செய்யுள் கணக்குகள் நூலைச் சுமந்து செல்கின்றன. ஒன்றில், எதிரியின் யானைகளைக் கைப்பற்றப் படையெடுக்கும் ஒரு மன்னன் முதல் நாள் இரண்டு யோஜனைகள், ஒரு பழைய தூர அளவு, கடந்து, ஒரு வாரத்தில் 80 யோஜனை தொலைவில் உள்ள ஒரு நகரத்தை அடைய வேண்டும். ஒவ்வொரு நாளின் பயணத்திலும் 22/7 யோஜனை சேர்க்க வேண்டும் என்று பாஸ்கரர் காட்டுகிறார் என்று மேக்டுடர் தெரிவிக்கிறது. மற்றொன்றில், ஒரு தேனீக் கூட்டத்தில் பாதியின் வர்க்கமூலமும் முழுமையின் ஒன்பதில் எட்டு பங்கும் ஒரு மல்லிகைப் புதருக்குப் போய்விட்டன, ஓர் ஆணும் ஒரு பெண்ணும் மட்டும் மிஞ்சியுள்ளனர். கோல்ப்ரூக்கின் மொழிபெயர்ப்பு விடையாக 72 தேனீக்கள் என்று தருகிறது.

லீலாவதியின் இரண்டு பெருக்கல் முறைகளில் ஒன்று, கைமாற்றும் எண்களை இறுதிக் கூட்டல் வரை தள்ளிவைக்கிறது. 325 × 243ஐப் பயன்படுத்தி, ஜார்ஜஸ் இஃப்ராவின் விவரிப்பை மேக்டுடர் பின்பற்றுகிறது: பெருக்கப்படும் எண்ணை, பெருக்குபவரின் ஒவ்வொரு இலக்கத்துக்கும் ஒரு முறை பாஸ்கரர் எழுதுகிறார், கைமாற்றாமல் இலக்கம் இலக்கமாகப் பெருக்குகிறார், துண்டுகளைக் கூட்டி 78,975ஐ அடைகிறார்.

வட்டத்துக்கு மொழிபெயர்ப்பு இரண்டு விதிகளைத் தருகிறது. நெருக்கமான சுற்றளவுக்கு விட்டத்தை 3,927ஆல் பெருக்கி 1,250ஆல் வகுக்க, அல்லது அன்றாடப் பயன்பாட்டுக்குப் பொருந்தும் கரடுமுரடான மதிப்புக்கு 22ஆல் பெருக்கி 7ஆல் வகுக்க. கணக்கிட்டால், முதல் விகிதம் நான்கு தசம இடங்கள் வரை 3.1416. பாஸ்கரர் அதை “வெளிப்படையாக வேறு ஏதோ ஓர் அதிகாரத்திலிருந்து” சேர்க்கிறார் என்று கோல்ப்ரூக் குறிப்பிடுகிறார். எண்ணுதலுடன் நூல் முடிகிறது: கொடுக்கப்பட்ட நீளமுள்ள எத்தனை எண்களின் இலக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகை தரும் என்பது, என்கிறது மேக்டுடர்.

பீஜகணிதம்: எதிர்மறை எண்கள், இரு மூலங்கள், பூஜ்ஜியம்

மேக்டுடரும் பிங்க்ரீயும் கூறுவதன்படி, பீஜகணிதம் பன்னிரண்டு அத்தியாயங்கள் கொண்டது. அவை நேர்மறை, எதிர்மறை எண்கள், பூஜ்ஜியம், தெரியாத எண், கரணிகள் (முழுமையாக மூலம் வராத வர்க்கமூலங்கள்), குட்டகம், இருபடிச் சமன்பாடுகள், பல தெரியாத எண்கள் கொண்ட சமன்பாடுகள் ஆகியவற்றை உள்ளடக்குகின்றன. எதிர்மறை எண்களுக்கு மேலே ஒரு புள்ளி இடப்படுகிறது. கோல்ப்ரூக்கின் மொழிபெயர்ப்பில் விதி: ஒரு நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை அளவின் வர்க்கம் நேர்மறை, ஒரு நேர்மறை அளவுக்கு இரண்டு மூலங்கள் உண்டு, ஒன்று நேர்மறை ஒன்று எதிர்மறை, மேலும் “ஓர் எதிர்மறை அளவுக்கு வர்க்கமூலம் இல்லை”.

இரண்டு செல்லுபடியாகும் விடைகள் கொண்ட சமன்பாடுகளையும் பாஸ்கரர் ஏற்கிறார். குரங்குகள் பற்றிய அவரது கணக்கில், கூட்டத்தின் எட்டில் ஒரு பங்கின் வர்க்கம் காட்டில் விளையாடுகிறது, பன்னிரண்டு குன்றில் அமர்ந்திருக்கின்றன; இருபடி 16 அல்லது 48ஐத் தருகிறது, இரண்டையும் அவர் ஏற்கத்தக்கவை என்கிறார் என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது. மேக்டுடரின் மதிப்பீட்டில், எண் அமைப்புகளையும் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதையும் ஐரோப்பா பல நூற்றாண்டுகளுக்கு எட்டாத நிலையில் அவர் புரிந்துகொண்டிருந்தார். கோல்ப்ரூக் ஒரு சிறிய கருத்தைச் சேர்க்கிறார்: பீஜகணிதத்தில் உள்ள பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் இரண்டு நிரூபணங்களில் முதலாவது, கோணப் பிரிவுகள் பற்றிய தன் ஆய்வுக் கட்டுரையில் வாலிஸ் தந்ததே என்கிறார்.

1657இல் ஃபெர்மா ஐரோப்பாவுக்கு வைத்த சமன்பாடு

பெல் சமன்பாடு, கொடுக்கப்பட்ட p-க்கு px² + 1 = y² ஆக இருக்கும் முழு எண்கள் x, y-ஐக் கேட்கிறது. சிறிய விடைகள் மிகப் பெரியதாக இருக்கலாம். p = 8, 11, 32, 61, 67 ஆகியவற்றுக்கு பாஸ்கரர் அதைத் தீர்த்தார். 67க்கு இணை x = 5,967, y = 48,842. 61க்கு அது மேலே குறிப்பிட்ட ஒன்பது இலக்க x; இணை சரியாகப் பொருந்துகிறது: 61 × 226,153,980² + 1, 1,766,319,049²க்குச் சமம்.

1150இல் சக்கரவாளம், அதாவது சுழல் முறையை பாஸ்கரருக்கு மேக்டுடர் உரியதாக்குகிறது. கிட்டத்தட்டப் பொருந்தும் ஓர் இணையிலிருந்து அது தொடங்கி, 628இன் பிரம்மகுப்தரின் முறை முடித்துவைக்கும் ஒரு நிலையை அடையும் வரை படிப்படியாக அதை மேம்படுத்துகிறது. ஒன்றைச் சோதனை மூலம் கண்ட பின் அதிலிருந்து பல விடைகளைப் பெறும் இந்து வழி, லாக்ரேஞ்ச் வரை எவரும் அடைந்ததைவிட ஒரு பொதுத் தீர்வுக்கு அருகில் வந்தது என்று 1817இல் கோல்ப்ரூக் மதிப்பிட்டார்.

ஐரோப்பாவின் பதிவு பிந்தையது. பிரம்மகுப்தர், இரண்டாம் பாஸ்கரர், 14ஆம் நூற்றாண்டில் பீஜகணிதத்துக்கு உரை எழுதிய நாராயணர் ஆகியோரின் முறைகள் 17ஆம் நூற்றாண்டு ஐரோப்பியக் கணிதவியலாளர்களுக்குச் சற்றும் தெரியாதவை என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது. ஃபெர்மா தன் சவாலை 1657இல் விடுத்தார்; அதன் கணக்குகளில் ஒன்று 61x² + 1 = y², பாஸ்கரர் தீர்த்த அதே நிகழ்வு. புரவுங்கர் ஒரு முறையைக் கண்டார், 1658இல் வாலிஸ் கடிதப் பரிமாற்றத்தை வெளியிட்டார். புரவுங்கரை பெல்லுடன் குழப்பிக்கொண்டதால் என்று பொதுவாக நம்பப்படும் காரணத்தால், யூலர் சமன்பாட்டுக்கு பெல்லின் பெயரை இட்டார் என்கிறது மேக்டுடர். லாக்ரேஞ்ச் 1771இல் கடுமையான ஒரு நிரூபணத்தை வெளியிட்டார். ஒருபடி முழு எண் சமன்பாடுகளுக்கு ஐரோப்பாவில் முதலில் 1624இல் பாஷே தெ மெசிரியாக் தந்த பொதுத் தீர்வு “இந்து இயற்கணிதவியலாளர்களின் முறையேதான்” என்பதையும் கோல்ப்ரூக் கண்டார்.

கிரகணங்கள், கோளங்கள், ஒரு தொடக்க மாற்ற வீதம்

சித்தாந்த சிரோமணியை பிங்க்ரீ இரண்டு பகுதிகளாக விவரிக்கிறார். முதல் பகுதியான கணிதாத்யாயம், கிரகங்களின் சராசரி மற்றும் உண்மை நிலைகள், கிரகணங்கள், கிரகங்களின் அகலாங்குகள், உதயங்களும் மறைவுகளும், பிறைநிலா, சேர்க்கைகள் பற்றிய 12 அத்தியாயங்களைக் கொண்டது. இரண்டாம் பகுதியான கோளாத்யாயம், கோளம் பற்றிய 13 அத்தியாயங்களைக் கொண்டது; அவற்றில் ஒரு வான்கோள மாதிரி (வானத்து வட்டங்களுக்கான உள்ளுக்குள் அமர்ந்த வளையங்களின் மாதிரி), கோள முக்கோணவியல், கருவிகள், பருவங்கள் அடங்கும். பாஸ்கரர் தன் சொந்த உரையான வாசனாபாஷ்யத்தையும் எழுதினார். முக்கோணவியலை ஒரு கணக்கீட்டுக் கருவியாக மட்டுமே கண்ட முன்னோர்களைவிட, முக்கோணவியலிலேயே அதன் பொருட்டு அவருக்கு அதிக ஆர்வம் இருந்தது போலத் தெரிகிறது என்று மேக்டுடர் சேர்க்கிறது; இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் சைனுக்கான அவரது சூத்திரத்தையும் மேற்கோள் காட்டுகிறது.

ஆரம்ப நுண்கணிதம் பற்றிய ஒரு கூற்று இந்த நூலுடன் இணைக்கப்படுகிறது; அதற்குப் பெயரிட்ட வரலாறு உண்டு. பாபுதேவ சாஸ்திரி 1858இல் எழுதிய “பாஸ்கரரின் வகையீட்டு நுண்கணித அறிவு” என்ற கட்டுரையையும், ஓர் இந்திய வானியலாளர் அந்தக் கொள்கையைக் “கண்டுபிடித்ததாகக் கருதப்படுவது” பற்றி 1860இல் டபிள்யூ. ஸ்பாட்டிஸ்வுட் எழுதிய குறிப்பையும் பிங்க்ரீயின் நூல்பட்டியல் தருகிறது. இந்திய வானியலில் கிரகங்களின் இயக்க வீதங்களைக் காண லகுமானசம் (ஏறத்தாழ கிபி 932) முதல் வகைக்கெழுக்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன என்று வெங்கடேஸ்வர பை ஆர். மற்றும் எம். எஸ். ஸ்ரீராம் எழுதிய 2023 Indian Journal of History of Science கட்டுரை, தன் சுருக்கத்தில் கூறுகிறது. வாசனாபாஷ்யத்தில் உடனடி இயக்க வீதங்கள் (தாத்காலிககதி) ஏன் தேவை என்பதை பாஸ்கரர் விளக்குகிறார் என்றும், அதில் சைன் சார்பின் வகைக்கெழு ஈடுபடுகிறது என்றும் அது கூறுகிறது.

அது வானியலுக்குள் இருக்கும் ஒரு வீத விதி, ஒரு குறிப்பிட்ட கணத்தில் கிரகத்தின் வேகத்தைக் காணப் பயன்படுவது. பாஸ்கரரின் (a × 0) / 0 = a என்ற விதியில் உள்ள பூஜ்ஜியத்தை எந்த எண்ணையும்விடச் சிறிய அளவான நவீன முடிவிலிச்சிறு அளவாக மதுகர் மல்லய்யா வாசிக்கிறார் என்று மேக்டுடர் தெரிவிக்கிறது; பாஸ்கரர் நோக்கியதற்கு அப்பாற்பட்ட கருத்துகளைக் காண்பதாக அது இருக்கலாம் என்றும் சேர்க்கிறது. அவரது முடிவுகள் பற்றிய மேக்டுடரின் சொந்த விவரிப்பில் நுண்கணிதம் குறிப்பிடப்படவில்லை. முடிவிலாத் தொடர்கள் பின்னர் வந்தன; அவை மேலே இணைக்கப்பட்ட கேரளக் கட்டுரையில் சொல்லப்பட்டுள்ளன.

மகள், முத்து, நூல் சொல்வது

லீலாவதியுடன் இணைந்த ஒரு கதையில், பாஸ்கரர் தன் மகள் லீலாவதியின் ஜாதகத்தைக் கணித்து அவளது திருமணத்துக்கு உரிய நேரத்தைக் கண்டார். நீர் நிறைந்த பாத்திரத்தில் ஒரு சிறிய துளையுள்ள கிண்ணத்தை வைத்து, அந்த நேரத்தில் அது மூழ்கும்படி அமைத்தார். அவள் அதன் மேல் குனிந்தாள், அவளது ஆடையிலிருந்து ஒரு முத்து விழுந்து துளையை அடைத்தது, நேரம் கடந்துவிட்டது. அவளை ஆற்ற, அவர் அவளுக்கு ஒரு கணித நூலை எழுதினார். ஜி. ஜி. ஜோசப்பின் நூலிலிருந்து மேக்டுடர் இதை மீண்டும் சொல்கிறது; பாரசீக மொழிபெயர்ப்பாளர் ஃபைஸி 1587இல் அதைச் சொன்னார் என்கிறது.

இது ஒரு மரபு, அறிஞர்கள் அதை அப்படியே கருதுகின்றனர். இது உண்மை என்பதற்கு ஏதேனும் சான்று இருப்பதைக் காண்பது கடினம் என்றும், லீலாவதி அவரது மகள் என்பது உறுதியில்லை என்றும், ஒரு கோட்பாடு அவளை அவரது மனைவியாக்குகிறது என்றும் மேக்டுடர் கூறுகிறது. நூல் ஒரு பெண்ணிடம் உரையாற்றுவதாக “(அவரது மகளா அல்லது மனைவியா?)” என்று பிங்க்ரீ விவரிக்கிறார். நூலுக்குள் பாஸ்கரர் ஒரு பெண்ணிடம் பேசுகிறார். கோல்ப்ரூக்கின் மொழிபெயர்ப்பில் ஓர் எடுத்துக்காட்டு அவளை “அழகியே, அன்பானவளே” என்று அழைத்து, அவளுக்கு “மானின் கண்கள் போன்ற” கண்களைத் தருகிறது. அங்குள்ள ஒரு அடிக்குறிப்பு, பெயர் “கற்பிக்கப்படும் ஒரு பெண்ணின் பெயராகத் தெரிகிறது” என்று கூறி, சில உரைகள் அதன் சொல்லுருவியலுக்கு ஏற்ப அதை “வசீகரமானவள்” என்ற பொருளில் கொள்கின்றன என்றும் சேர்க்கிறது.

பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல், விடுபட்ட நிரூபணங்கள், போலியான ஏழாம் நூல்

பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பதற்கான ஒரு விதியை பாஸ்கரர் தந்தார். ஓர் அளவை பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தால் அது “வகுபடுபவன் பூஜ்ஜியமாக உள்ள ஒரு பின்னமாகிறது” என்று பீஜகணிதத்தில் எழுதி, அதை ஒரு முடிவிலா அளவு என்றார். n/0 முடிவிலியாக இருந்தால் பூஜ்ஜியம் மடங்கு முடிவிலி ஒவ்வொரு எண் n க்கும் சமமாக வேண்டும் என்பதால் இது பொருந்தாது என்று மேக்டுடர் கூறுகிறது; பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் சாத்தியமில்லை என்பதை ஒப்புக்கொள்ள இந்தியக் கணிதவியலாளர்களால் முடியவில்லை என்றும் குறிப்பிடுகிறது. பிரம்மகுப்தரின் முந்தைய பூஜ்ஜிய விதிகள் பூஜ்ஜியம் பற்றிய கட்டுரையில் உள்ளன.

சுழல் முறைக்கு பாஸ்கரரிடம் நிரூபணம் இல்லை என்றும் மேக்டுடர் வாதிடுகிறது; நிரூபணம் நீளமானதும் கடினமானதும், 12ஆம் நூற்றாண்டுக் கணிதத்துக்கு மிகவும் அப்பாற்பட்டதும் என்பதால். ஆறு நூல்கள் அவருடையவை என ஏற்கப்படுகின்றன. ஏழாவது நூலான பீஜோபநயம் 1151 என்று கூறிக்கொள்கிறது; குப்பண்ண சாஸ்திரியின் பணியிலிருந்து, அது 1810களின் தொடக்கத்தில் தென்னிந்தியாவில் போலியாக இயற்றப்பட்டது என்று பிங்க்ரீ முடிவு செய்கிறார்.

1207இல் ஒரு பள்ளி, மூன்று பாரசீகப் பதிப்புகள், இரண்டு செயற்கைக்கோள்கள்

மகாராஷ்டிராவின் சாலிஸ்காவ் அருகே கண்டெடுக்கப்பட்ட பட்னா கல்வெட்டு, சக 1128இன் ஒரு சந்திர கிரகணத்தைக் குறித்து தேதியிடப்பட்டுள்ளது; அதை எபிகிராபியா இண்டிகா கிபி 1207 ஆகஸ்ட் 9க்குச் சமமாக்குகிறது. சித்தாந்த சிரோமணியைப் படிக்க ஒரு கல்லூரியை சங்கதேவர் நிறுவினார் என்று அது பதிவு செய்கிறது. யாதவ மன்னர் சிங்கணனின் சிற்றரசர்களான இரண்டு நிகும்பச் சகோதரர்கள், சோய்தேவர், ஹேமாடிதேவர், அதற்கு நிதியளித்தனர். ஓர் இடைக்காலக் கோயில் கல்வெட்டு அவரை “மயிலின் கொண்டையைப் போன்றவர்” என்று புகழ்கிறது என்று மேக்டுடர் சேர்க்கிறது.

1587இன் ஃபைஸியின் பாரசீக லீலாவதி பேரரசர் அக்பரின் உத்தரவில் உருவாக்கப்பட்டது என்று கோல்ப்ரூக் பதிவு செய்கிறார்; ஏறத்தாழ 1663, 1678 ஆகியவற்றிலிருந்து மேலும் இரண்டு பாரசீகப் பதிப்புகளைப் பிங்க்ரீ அறிவார். ஷாஜகான் பீஜகணிதத்தை 1634, 1635இல் மொழிபெயர்க்கச் செய்தார். ஆங்கிலத்தில், ஜே. டெய்லரின் பதிப்பு 1816இல் பம்பாயில் அச்சிடப்பட்டது, கோல்ப்ரூக்கினுடையது அடுத்த ஆண்டு தொடர்ந்தது.

புனேயில் பாஸ்கராச்சார்யா பிரதிஷ்டானா 1976இல் கணிதவியலாளர் ஸ்ரீராம் அப்யங்கரால் நிறுவப்பட்டது. 1992 முதல் இது பிராந்தியக் கணித ஒலிம்பியாட்டின் அங்கீகரிக்கப்பட்ட மையமாக இருந்து வருகிறது; தான் பயிற்றுவித்த மாணவர்கள் சர்வதேச கணித ஒலிம்பியாட்டில் 50க்கும் மேற்பட்ட பதக்கங்கள் வென்றுள்ளனர் என்று நிறுவனம் கூறுகிறது.

இந்தியாவின் முதல் செயற்கைக்கோள், ஒரு முந்தைய வானியலாளரின் பெயரைத் தாங்கியது, தனக்கென ஒரு கட்டுரை கொண்டுள்ளது. தொலைக்காட்சிக் கேமராக்களையும் ஒரு நுண்ணலை கதிர்வீச்சுமானியையும் சுமந்த பாஸ்கரா-I-இன் ஏவு தேதியை, இஸ்ரோவின் பக்கம் 1979 ஜூன் 7 எனத் தருகிறது. 1981 நவம்பர் 20 அன்று ஏவப்பட்ட இரண்டாவது செயற்கைக்கோளை குன்டரின் ஸ்பேஸ் பேஜ் பட்டியலிட்டு, அந்த இணை இரண்டு பாஸ்கராச்சார்யர்களின் பெயரால் அமைந்தது என்று கூறுகிறது.