भास्कर द्वितीय ने सिद्धांत शिरोमणि 1150 में पूरा किया, और उसके बीजगणित ने वह समीकरण हल किया जो फ़ेर्मा ने 1657 में यूरोप को चुनौती के रूप में दिया था

भास्कर द्वितीय ने सिद्धांत शिरोमणि 1150 ई. में पूरा किया, और अपनी गिनती से वे तब 36 वर्ष के थे। उसका बीजगणित खंड, बीजगणित, समीकरण 61x² + 1 = y² पर काम करता है और पूर्ण संख्याओं में सबसे छोटा उत्तर देता है: x = 226,153,980 और y = 1,766,319,049। यही समीकरण पियरे द फ़ेर्मा ने 1657 में यूरोप और इंग्लैंड के गणितज्ञों को चुनौती के रूप में दिया था, मैकट्यूटर के अनुसार, जो सेंट एंड्रयूज़ विश्वविद्यालय का गणित-इतिहास संग्रह है।

उसी रचना में लीलावती है, पद्य में प्रश्नों के रूप में लिखा अंकगणित और ज्यामिति का 13 अध्यायों का ग्रंथ, और ग्रहणों, ग्रहों की स्थितियों और यंत्रों को समेटता दो भागों का खगोल। डेविड पिंग्री डिक्शनरी ऑफ़ साइंटिफ़िक बायोग्राफ़ी में लीलावती पर 35 टीकाएँ गिनाते हैं, पहली नारायण की 1356 की। लगभग 1400 में साइन और पाई की अनंत श्रेणियाँ खोजने वाले केरल के गणितज्ञ एक अलग लेख का विषय हैं। यह लेख भास्कर के साथ चलता है।

वे अपने बारे में क्या कहते हैं

हेनरी थॉमस कोलब्रुक ने, जिन्होंने 1817 में लीलावती और बीजगणित का अंग्रेज़ी में अनुवाद किया, लिखा कि भास्कर के काम की तिथि “असाधारण सटीकता से सुनिश्चित” है। कोलब्रुक बताते हैं कि भास्कर ग्रंथ में कहते हैं कि उन्होंने उसे शक वर्ष 1072 में, 36 वर्ष की उम्र में पूरा किया, और कि उनका जन्म शक 1036 में हुआ। इससे ग्रंथ के लिए 1150 और, अधिकतर आधुनिक स्रोतों में, उनके जन्म के लिए 1114 मिलता है। पिंग्री की प्रविष्टि का शीर्षक 1115 है। ग्रहों की खगोलीय स्थितियाँ निकालने की एक छोटी पुस्तिका, करणकुतूहल, पिंग्री की प्रविष्टि और बायोग्राफ़िकल एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ एस्ट्रोनॉमर्स दोनों में 1183 की है।

उनके पिता माहेश्वर थे, शांडिल्य वंश के, जिन्होंने ज्योतिष पर एक लोकप्रिय ग्रंथ लिखा, पिंग्री नोट करते हैं। सिद्धांत शिरोमणि के समापन-श्लोक उनके नगर का नाम विज्जडविड देते हैं। पिंग्री इसे बीजापुर पढ़ते हैं, जो अब कर्नाटक में है, और सावधानी जोड़ते हैं “यदि यह पहचान सही है”। मैकट्यूटर और विश्वकोश दोनों विजयपुर, यानी वही नगर, को उनका जन्म-स्थान देते हैं। उज्जैन में, जो तब भारत का अग्रणी गणितीय केंद्र था, जहाँ वराहमिहिर और ब्रह्मगुप्त ने काम किया था, मैकट्यूटर कहता है कि वे खगोलीय वेधशाला के प्रमुख बने। मैकट्यूटर और विश्वकोश उनकी मृत्यु के लिए भी उज्जैन और 1185 पर सहमत हैं।

परिवार उसी काम में लगा रहा। पिंग्री भास्कर के पुत्र लक्ष्मीधर का नाम लेते हैं, जिन्हें राजा जैत्रपाल ने पंडितों का प्रमुख नियुक्त किया, और पौत्र चांगदेव का, राजा सिंघण के प्रमुख ज्योतिषी।

लीलावती: पद्य में प्रश्नों के तेरह अध्याय

अध्याय-दर-अध्याय, मैकट्यूटर सूचीबद्ध करता है: परिभाषाएँ, अंकगणितीय शब्द, ब्याज, समांतर और गुणोत्तर श्रेणियाँ, समतल ज्यामिति, ठोस ज्यामिति, शंकु की छाया (एक खड़ी छड़ी जिसकी छाया से समय और दिशा पढ़ी जाती है), कुट्टक, और संचय। कुट्टक, जिसे चूर्णक भी कहा जाता है, उन समीकरणों की विधि है जिनके उत्तर पूर्ण संख्याएँ होने चाहिए, जिसे आर्यभट के गणित वाले अध्याय ने 499 में रखा था।

ग्रंथ पद्य-प्रश्नों पर चलता है। एक में एक राजा शत्रु के हाथी पकड़ने कूच करता है, पहले दिन दो योजन, दूरी की एक पुरानी माप, तय करता है और उसे एक सप्ताह में 80 योजन दूर के नगर पहुँचना है। भास्कर दिखाते हैं, मैकट्यूटर बताता है, कि उसे हर दिन की यात्रा में 22/7 योजन जोड़ने होंगे। दूसरे में मधुमक्खियों का एक झुंड इस तरह बँट गया है कि झुंड के आधे का वर्गमूल और पूरे का आठ-नौवाँ भाग एक चमेली की झाड़ी पर चला गया, जबकि एक नर और एक मादा बचे हैं। कोलब्रुक का अनुवाद उत्तर 72 मधुमक्खियाँ देता है।

लीलावती के दो गुणन-विधियों में से एक अंकों को ढोना अंतिम जोड़ तक टाल देती है। मैकट्यूटर इसके लिए जॉर्जेस इफ़्रा का वर्णन अपनाता है, उदाहरण 325 × 243 के साथ: भास्कर गुण्य को गुणक के हर अंक के लिए एक बार लिखते हैं, अंक-दर-अंक बिना ढोए गुणा करते हैं, और टुकड़ों को जोड़कर 78,975 पर पहुँचते हैं।

वृत्त के लिए अनुवाद दो नियम देता है। व्यास को 3,927 से गुणा करके 1,250 से भाग दो, सूक्ष्म परिधि के लिए, या 22 से गुणा करके 7 से भाग दो, एक मोटे मान के लिए जो रोज़मर्रा के काम के लायक़ है। हल करने पर पहला अनुपात चार दशमलव स्थान तक 3.1416 है। कोलब्रुक नोट करते हैं कि भास्कर इसे “प्रत्यक्षतः किसी अन्य प्रमाण से” जोड़ते हैं। ग्रंथ गणना पर समाप्त होता है: किसी दी हुई लंबाई की कितनी संख्याओं के अंकों का योग दिया हुआ योग हो, मैकट्यूटर कहता है।

बीजगणित: ऋण संख्याएँ, दो मूल और शून्य

बीजगणित में बारह अध्याय हैं, मैकट्यूटर और पिंग्री के अनुसार। वे धन और ऋण संख्याओं, शून्य, अज्ञात, करणियों (वर्गमूल जो पूरे नहीं निकलते), कुट्टक, द्विघात समीकरणों और कई अज्ञातों वाले समीकरणों को समेटते हैं। ऋण संख्याओं के ऊपर एक बिंदु लगाया जाता है। कोलब्रुक के अनुवाद में नियम यह है कि धन या ऋण राशि का वर्ग धन होता है, कि धन राशि के दो मूल होते हैं, एक धन और एक ऋण, और कि “ऋण राशि का कोई वर्गमूल नहीं होता”।

भास्कर दो वैध उत्तरों वाले समीकरण भी स्वीकार करते हैं। वानरों वाले अपने प्रश्न में, जहाँ झुंड के आठवें हिस्से का वर्ग वन में खेल रहा है और बारह पहाड़ी पर बैठे हैं, द्विघात 16 या 48 देता है, और वे दोनों को स्वीकार्य कहते हैं, मैकट्यूटर बताता है। मैकट्यूटर के निर्णय में, वे संख्या-प्रणालियों और समीकरण हल करने को उस स्तर पर समझते थे जहाँ यूरोप कई सदियों तक नहीं पहुँचा। कोलब्रुक एक छोटी बात जोड़ते हैं: बीजगणित में पाइथागोरस प्रमेय के दो प्रमाणों में से पहला, वे कहते हैं, वही है जो वालिस ने कोणीय खंडों पर अपने ग्रंथ में दिया।

1657 में फ़ेर्मा द्वारा यूरोप को दिया गया समीकरण

पेल का समीकरण किसी दिए हुए p के लिए px² + 1 = y² के पूर्ण संख्या हल x और y माँगता है। सबसे छोटे उत्तर बहुत बड़े हो सकते हैं। भास्कर ने इसे p = 8, 11, 32, 61 और 67 के लिए हल किया। 67 के लिए जोड़ी x = 5,967 और y = 48,842 है। 61 के लिए यह शुरुआत में दिया गया नौ अंकों का x है, और जोड़ी जाँच पर ठीक बैठती है: 61 × 226,153,980² + 1, 1,766,319,049² के बराबर है।

मैकट्यूटर 1150 में चक्रवाल, यानी चक्रीय विधि, का श्रेय भास्कर को देता है। वह एक ऐसी जोड़ी से शुरू होती है जो लगभग ठीक बैठती है और उसे चरण-दर-चरण सुधारती है, जब तक एक ऐसा मामला नहीं आता जिसे 628 की ब्रह्मगुप्त की विधि पूरा कर देती है। कोलब्रुक ने 1817 में निर्णय दिया कि परीक्षण से मिले एक उत्तर से अनेक उत्तर निकालने की हिंदू विधि लाग्रांज तक किसी के भी काम जितनी सामान्य हल के निकट आई।

यूरोप का अभिलेख बाद में शुरू होता है। मैकट्यूटर कहता है कि ब्रह्मगुप्त, भास्कर द्वितीय और नारायण की विधियाँ, जिन्होंने 14वीं सदी में बीजगणित पर टीका लिखी, 17वीं सदी के यूरोपीय गणितज्ञों को पूरी तरह अज्ञात थीं। फ़ेर्मा ने अपनी चुनौती 1657 में दी, और उसके प्रश्नों में से एक 61x² + 1 = y² था, वही मामला जिसे भास्कर हल कर चुके थे। ब्रंकर ने एक विधि निकाली, और वालिस ने 1658 में पत्रों का आदान-प्रदान छापा। यूलर ने समीकरण को पेल के नाम पर रखा, आम तौर पर माना जाता है कि इसलिए कि उन्होंने पेल को ब्रंकर समझ लिया, मैकट्यूटर कहता है। लाग्रांज ने 1771 में कठोर प्रमाण छापा। कोलब्रुक ने यह भी देखा कि प्रथम घात के पूर्ण-संख्या समीकरणों का सामान्य हल, जो यूरोप में पहली बार 1624 में बाशे द मेज़िरियाक ने दिया, “ठीक वही विधि है जो हिंदू बीजगणितज्ञों की है”।

ग्रहण, गोल और परिवर्तन-दर का एक आरंभिक रूप

पिंग्री सिद्धांत शिरोमणि का वर्णन दो भागों में करते हैं। पहला भाग, गणिताध्याय, के 12 अध्याय ग्रहों की मध्यम और स्पष्ट स्थितियों, ग्रहणों, ग्रहों के अक्षांश, उदय और अस्त, नवचंद्र और युतियों पर हैं। दूसरा भाग, गोलाध्याय, के 13 अध्याय गोल पर हैं, जिनमें एक आर्मिलरी गोल (खगोलीय वृत्तों का एक-दूसरे में बैठे छल्लों का मॉडल), गोलीय त्रिकोणमिति, यंत्र और ऋतुएँ शामिल हैं। भास्कर ने अपनी टीका भी लिखी, वासनाभाष्य। मैकट्यूटर जोड़ता है कि उन्हें अपने पूर्ववर्तियों से अधिक त्रिकोणमिति में उसके अपने लिए रुचि लगती है, जो उसे केवल गणना का साधन देखते थे, और दो कोणों के योग की ज्या का उनका सूत्र उद्धृत करता है।

इस ग्रंथ से प्रारंभिक कलन का एक दावा जुड़ा है, और उसका एक नामित इतिहास है। पिंग्री की ग्रंथसूची बापूदेव शास्त्री का 1858 का एक शोधपत्र गिनाती है, शीर्षक “Bhaskara’s Knowledge of the Differential Calculus”, और 1860 में डब्ल्यू. स्पॉटिसवुड का एक नोट, एक भारतीय खगोलविद द्वारा उस सिद्धांत की “कथित खोज” पर। इंडियन जर्नल ऑफ़ हिस्ट्री ऑफ़ साइंस में 2023 का एक शोधपत्र, वेंकटेश्वर पै आर. और एम. एस. श्रीराम का, अपने सार में कहता है कि भारतीय खगोल में ग्रहों की गति की दरें निकालने में लघुमानस (लगभग 932 ई.) से आगे अवकलजों का उपयोग हुआ। वासनाभाष्य में, वह कहता है, भास्कर समझाते हैं कि तात्कालिक गति (तात्कालिकगति) की ज़रूरत क्यों है, जिसमें ज्या फलन का अवकलज शामिल है।

वह खगोल के भीतर की एक दर-नियम है, जो किसी ग्रह की किसी क्षण की गति निकालने के काम आता है। मैकट्यूटर बताता है कि मधुकर मल्लय्या भास्कर के नियम (a × 0) / 0 = a में शून्य को आधुनिक अत्यल्प के रूप में पढ़ते हैं, किसी भी संख्या से छोटी राशि, और जोड़ता है कि यह भास्कर के आशय से परे के विचार देखना हो सकता है। मैकट्यूटर के उनके परिणामों के अपने वृत्तांत में कलन का कहीं उल्लेख नहीं है। अनंत श्रेणियाँ बाद में आईं, और वे ऊपर जुड़े केरल वाले लेख में बताई गई हैं।

पुत्री, मोती और पाठ क्या कहता है

लीलावती से जुड़ी एक कथा में भास्कर अपनी पुत्री लीलावती की कुंडली बनाते हैं और उसके विवाह का सही समय खोजते हैं। उन्होंने पानी के एक पात्र में एक छोटे छेद वाला प्याला रखा, जो उसी समय डूबने के लिए नापा गया था। वह उस पर झुकी, उसके वस्त्र का एक मोती गिरकर छेद में अटक गया, और मुहूर्त निकल गया। उसे सांत्वना देने के लिए उन्होंने उसे गणित की एक पुस्तक लिख दी। मैकट्यूटर इसे जी. जी. जोसेफ़ की पुस्तक से दोहराता है और कहता है कि फ़ारसी अनुवादक फ़ैज़ी ने इसे 1587 में बताया।

यह एक परंपरा है, और विद्वान इसे वैसे ही लेते हैं। मैकट्यूटर कहता है कि “यह देखना कठिन है कि इसके सच होने का कोई प्रमाण है”, कि यह निश्चित नहीं कि लीलावती उनकी पुत्री थी, और कि एक सिद्धांत उसे उनकी पत्नी मानता है। पिंग्री पुस्तक का वर्णन एक स्त्री को संबोधित बताते हैं, “(उनकी पुत्री या पत्नी?)”। पाठ के भीतर भास्कर एक स्त्री से बात करते हैं। कोलब्रुक के अनुवाद में एक उदाहरण उसे “सुंदर और प्रिय” कहता है और उसकी आँखों को “हिरनी की जैसी”। वहाँ की एक पाद-टिप्पणी कहती है कि नाम “प्रतीत होता है एक स्त्री का नाम है जिसे शिक्षा संबोधित है”, और जोड़ती है कि कुछ टीकाएँ, उसकी व्युत्पत्ति के अनुसार, उसका अर्थ “मनोहर” लेती हैं।

शून्य से भाग, अनुपस्थित प्रमाण और जाली सातवीं पुस्तक

भास्कर ने शून्य से भाग का एक नियम दिया। बीजगणित में उन्होंने लिखा कि शून्य से भाग दी गई राशि “एक ऐसा भिन्न हो जाती है जिसका हर शून्य है”, और उसे अनंत राशि कहा। मैकट्यूटर कहता है कि यह नहीं टिकता, क्योंकि अगर n/0 अनंत होता तो शून्य गुणा अनंत हर संख्या n के बराबर होता, और नोट करता है कि भारतीय गणितज्ञ यह मानने को तैयार नहीं हो पाए कि शून्य से भाग असंभव है। शून्य के बारे में ब्रह्मगुप्त के पहले के नियम शून्य वाले लेख में हैं।

मैकट्यूटर यह भी तर्क देता है कि भास्कर के पास चक्रीय विधि का प्रमाण नहीं था, क्योंकि प्रमाण लंबा और कठिन है और 12वीं सदी के गणित से बहुत आगे का होता। छह रचनाएँ उनकी मानी जाती हैं। एक सातवीं, बीजोपनय, 1151 की होने का दावा करती है, और पिंग्री कुप्पन्ना शास्त्री के काम से निष्कर्ष निकालते हैं कि वह दक्षिण भारत में 1810 के दशक के आरंभ में जाली बनाई गई।

1207 का एक विद्यालय, तीन फ़ारसी रूप और दो उपग्रह

महाराष्ट्र के चालीसगाँव के पास मिला पाटना अभिलेख शक 1128 के एक चंद्रग्रहण की तिथि का है, जिसे एपिग्राफ़िया इंडिका 9 अगस्त 1207 के बराबर बताता है। वह दर्ज करता है कि चांगदेव ने सिद्धांत शिरोमणि के अध्ययन के लिए एक महाविद्यालय स्थापित किया। यादव राजा सिंघण के दो सामंतों, निकुंभ भाइयों सोइदेव और हेमादिदेव, ने उसे अनुदान दिया। मैकट्यूटर जोड़ता है कि एक मध्यकालीन मंदिर-अभिलेख उनकी प्रशंसा “मोर की कलगी जैसे” करता है।

फ़ैज़ी की फ़ारसी लीलावती 1587 की सम्राट अकबर के आदेश पर बनी, कोलब्रुक दर्ज करते हैं, और पिंग्री दो और फ़ारसी रूप जानते हैं, लगभग 1663 और 1678 के। शाहजहाँ ने बीजगणित का अनुवाद 1634 और 1635 में कराया। अंग्रेज़ी में जे. टेलर का रूप 1816 में बंबई में छपा और कोलब्रुक का अगले वर्ष।

पुणे में भास्कराचार्य प्रतिष्ठान की स्थापना 1976 में गणितज्ञ श्रीराम अभ्यंकर ने की। वह 1992 से क्षेत्रीय गणित ओलिंपियाड का मान्यता-प्राप्त केंद्र रहा है, और संस्थान कहता है कि उसके प्रशिक्षित छात्रों ने अंतरराष्ट्रीय गणित ओलिंपियाड में 50 से अधिक पदक जीते हैं।

भारत के पहले उपग्रह का, जो एक पहले के खगोलविद के नाम पर था, अपना लेख है। इसरो का भास्कर-I का पृष्ठ, जिस पर टेलीविज़न कैमरे और एक माइक्रोवेव रेडियोमीटर था, उसकी प्रक्षेपण तिथि 7 जून 1979 देता है। गंटर्स स्पेस पेज 20 नवंबर 1981 को प्रक्षेपित एक दूसरा उपग्रह सूचीबद्ध करता है और कहता है कि जोड़ी का नाम दोनों भास्कराचार्यों पर रखा गया है।