দ্বিতীয় ভাস্কর ১১৫০ সালে সিদ্ধান্ত শিরোমণি সম্পূর্ণ করেন, আর এর বীজগণিত সমাধান করেছিল সেই সমীকরণ, যা ফার্মা ১৬৫৭ সালে ইউরোপকে চ্যালেঞ্জ হিসেবে দিয়েছিলেন

দ্বিতীয় ভাস্কর সিদ্ধান্ত শিরোমণি সম্পূর্ণ করেন ১১৫০ খ্রিস্টাব্দে, আর তাঁর নিজের হিসাবে তখন তাঁর বয়স ৩৬। এর বীজগণিত অংশ, বীজগণিত, 61x² + 1 = y² সমীকরণ নিয়ে কাজ করে এবং পূর্ণসংখ্যায় ক্ষুদ্রতম উত্তর দেয়: x = 226,153,980 ও y = 1,766,319,049। সেন্ট অ্যান্ড্রুজ বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত-ইতিহাসের সংগ্রহশালা ম্যাকটিউটর অনুযায়ী, একই সমীকরণ পিয়ের দ্য ফার্মা ১৬৫৭ সালে ইউরোপ ও ইংল্যান্ডের গণিতজ্ঞদের চ্যালেঞ্জ হিসেবে দিয়েছিলেন।

একই গ্রন্থে আছে লীলাবতী, পদ্যে সমস্যার আকারে লেখা পাটিগণিত ও জ্যামিতির ১৩ অধ্যায়ের একটি পাঠ, আর গ্রহণ, গ্রহের অবস্থান ও যন্ত্র নিয়ে দুই ভাগের একটি জ্যোতির্বিদ্যা। ডেভিড পিঙ্গ্রি Dictionary of Scientific Biography-তে লীলাবতী-র ৩৫টি টীকার তালিকা দিয়েছেন, প্রথমটি ১৩৫৬ সালের নারায়ণের। কেরালার যে গণিতজ্ঞেরা আনুমানিক ১৪০০ সালে সাইন ও পাই-এর অসীম শ্রেণি পেয়েছিলেন, তাঁরা আলাদা একটি লেখার বিষয়। এটি অনুসরণ করে ভাস্করকে।

নিজের সম্পর্কে তিনি যা বলেন

হেনরি টমাস কোলব্রুক, যিনি ১৮১৭ সালে লীলাবতী ও বীজগণিত ইংরেজিতে অনুবাদ করেন, লিখেছিলেন ভাস্করের কাজের সময় “অস্বাভাবিক নির্ভুলতার সঙ্গে নির্ণীত”। কোলব্রুক জানান, ভাস্কর বইয়ে বলেছেন তিনি শেষ করেছেন শকাব্দ ১০৭২-এ, বয়স ৩৬, এবং তাঁর জন্ম শকাব্দ ১০৩৬-এ। তাতে বইয়ের জন্য পাওয়া যায় ১১৫০, আর বেশির ভাগ আধুনিক সূত্রে তাঁর জন্মের ১১১৪। পিঙ্গ্রির ভুক্তির শিরোনামে ১১১৫। জ্যোতির্বিদ্যার অবস্থান হিসাব করার একটি ছোট নির্দেশিকা, করণকুতূহল, পিঙ্গ্রির ভুক্তি ও Biographical Encyclopedia of Astronomers, দুটিতেই ১১৮৩ সালের।

তাঁর পিতা ছিলেন শাণ্ডিল্য বংশের মহেশ্বর, যিনি জ্যোতিষ নিয়ে একটি জনপ্রিয় গ্রন্থ লেখেন, পিঙ্গ্রি জানান। সিদ্ধান্ত শিরোমণি-র শেষ শ্লোকগুলিতে তাঁর নগরের নাম বিজ্জডবিড। পিঙ্গ্রি তা পড়েন বিজাপুর বলে, এখন কর্ণাটকে, এবং সতর্কবাক্য যোগ করেন “যদি এই শনাক্তকরণ সঠিক হয়”। ম্যাকটিউটর ও বিশ্বকোষ, দুটিই জন্মস্থান দেয় বিজয়পুর, একই শহর। উজ্জয়িনীতে, তখন ভারতের অগ্রণী গাণিতিক কেন্দ্র, যেখানে বরাহমিহির ও ব্রহ্মগুপ্ত কাজ করেছিলেন, ম্যাকটিউটর বলে, তিনি জ্যোতির্বিজ্ঞান মানমন্দিরের প্রধান হন। মৃত্যুর জন্য ম্যাকটিউটর ও বিশ্বকোষ একমত উজ্জয়িনী ও ১১৮৫-তে।

পরিবার একই কাজে থেকে যায়। পিঙ্গ্রি নাম করেছেন ভাস্করের পুত্র লক্ষ্মীধরের, রাজা জৈত্রপাল যাঁকে পণ্ডিতদের প্রধান নিযুক্ত করেন, এবং নাতি চাঙ্গদেবের, রাজা সিংঘনের প্রধান জ্যোতিষী।

লীলাবতী: পদ্যে সমস্যার তেরোটি অধ্যায়

অধ্যায় ধরে ধরে ম্যাকটিউটর তালিকা করেছে সংজ্ঞা, পাটিগণিতের পরিভাষা, সুদ, সমান্তর ও গুণোত্তর শ্রেণি, সমতল জ্যামিতি, ঘন জ্যামিতি, শঙ্কুর ছায়া (সময় ও দিক পড়ার জন্য একটি খাড়া কাঠি), কুট্টক এবং বিন্যাস-সমবায়। “গুঁড়ো করার পদ্ধতি” নামে পরিচিত কুট্টক এমন সমীকরণের পদ্ধতি যার উত্তর পূর্ণসংখ্যা হতে হবে, যা আর্যভট্টের গণিত-অধ্যায় ৪৯৯ সালে সাজিয়ে দিয়েছিল।

বইটিকে বহন করে পদ্যের সমস্যা। একটিতে এক রাজা শত্রুর হাতি দখল করতে অভিযানে বেরিয়ে প্রথম দিন দুই যোজন, দূরত্বের একটি পুরনো মাপ, পার হন, এবং এক সপ্তাহে পৌঁছাতে হবে ৮০ যোজন দূরের এক নগরে। ভাস্কর দেখান, ম্যাকটিউটর জানায়, প্রতিদিনের যাত্রায় তাঁকে যোগ করতে হবে 22/7 যোজন। আরেকটিতে মৌমাছির এক ঝাঁক ভাগ হয়ে গেছে এভাবে যে ঝাঁকের অর্ধেকের বর্গমূল এবং পুরোটার আট-নবমাংশ গেছে এক জুঁই ঝোপে, আর একটি পুরুষ ও একটি স্ত্রী রয়ে গেছে। কোলব্রুকের অনুবাদ উত্তর দেয় ৭২টি মৌমাছি।

লীলাবতী-র দুটি গুণন-পদ্ধতির একটি শেষ যোগ পর্যন্ত অঙ্ক হাতে রাখা পিছিয়ে দেয়। ম্যাকটিউটর জর্জ ইফরাহর বিবরণ অনুসরণ করে, 325 × 243 নিয়ে: ভাস্কর গুণ্যকে লেখেন গুণকের প্রতিটি অঙ্কের জন্য একবার করে, হাতে না রেখে অঙ্ক ধরে ধরে গুণ করেন, আর অংশগুলি যোগ করে পৌঁছান 78,975-এ।

বৃত্তের জন্য অনুবাদে দুটি নিয়ম আছে। ব্যাসকে 3,927 দিয়ে গুণ করে 1,250 দিয়ে ভাগ করো নিকটতর পরিধির জন্য, অথবা 22 দিয়ে গুণ করে 7 দিয়ে ভাগ করো স্থূলতর, দৈনন্দিন কাজের উপযোগী মানের জন্য। হিসাব করলে প্রথম অনুপাত দশমিকের চার ঘর পর্যন্ত 3.1416। কোলব্রুক লক্ষ করেন ভাস্কর এটি যোগ করেছেন “দৃশ্যত অন্য কোনো প্রামাণ্য সূত্র থেকে”। গণনা দিয়ে বই শেষ: নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের কয়টি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল নির্দিষ্ট, ম্যাকটিউটর বলে।

বীজগণিত: ঋণাত্মক সংখ্যা, দুটি মূল ও শূন্য

বীজগণিত বারোটি অধ্যায়ে, ম্যাকটিউটর ও পিঙ্গ্রি অনুযায়ী। তা ধরে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যা, শূন্য, অজানা, করণী (যে বর্গমূল মেলে না), কুট্টক, দ্বিঘাত সমীকরণ এবং একাধিক অজানার সমীকরণ। ঋণাত্মক সংখ্যার ওপর একটি বিন্দু বসে। কোলব্রুকের অনুবাদে নিয়ম হল ধনাত্মক বা ঋণাত্মক রাশির বর্গ ধনাত্মক, ধনাত্মক রাশির দুটি মূল, একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক, এবং “ঋণাত্মক রাশির কোনো বর্গমূল নেই”।

ভাস্কর দুটি বৈধ উত্তরের সমীকরণও মেনে নেন। বানরদের সমস্যায়, একদল প্রাণীর আটভাগের একভাগের বর্গ বনে খেলছে আর বারোটি বসে আছে পাহাড়ে, দ্বিঘাত সমীকরণ দেয় 16 বা 48, আর তিনি দুটিকেই গ্রহণযোগ্য বলেন, ম্যাকটিউটর জানায়। ম্যাকটিউটরের বিচারে তিনি সংখ্যা-ব্যবস্থা ও সমীকরণ সমাধান বুঝেছিলেন এমন স্তরে যা ইউরোপ পৌঁছায়নি কয়েক শতাব্দী ধরে। কোলব্রুক একটি ছোট কথা যোগ করেন: বীজগণিত-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের দুটি প্রমাণের প্রথমটি, তিনি বলেন, সেটিই যা ওয়ালিস দিয়েছিলেন কোণ-ছেদ নিয়ে তাঁর গ্রন্থে।

১৬৫৭ সালে ফার্মা ইউরোপকে যে সমীকরণ দেন

পেলের সমীকরণ জানতে চায় px² + 1 = y² সত্য হয় এমন পূর্ণসংখ্যা x ও y, কোনো নির্দিষ্ট p-র জন্য। ক্ষুদ্রতম উত্তর খুব বড় হতে পারে। ভাস্কর কাজ করেছিলেন p = 8, 11, 32, 61 ও 67-এর জন্য। 67-এর জোড়া x = 5,967 ও y = 48,842। 61-এর জন্য সেটি ওপরে উদ্ধৃত নয়-অঙ্কের x, আর জোড়াটি মিলে যায়: 61 × 226,153,980² + 1 সমান 1,766,319,049²।

ম্যাকটিউটর ১১৫০ সালে চক্রবাল, চক্রীয় পদ্ধতি, ভাস্করের কৃতিত্ব বলে ধরে। এটি শুরু হয় প্রায় মিলে যাওয়া একটি জোড়া থেকে এবং ধাপে ধাপে তাকে উন্নত করে এমন একটি ক্ষেত্রে পৌঁছায় যা ৬২৮ সালের ব্রহ্মগুপ্তের পদ্ধতি শেষ করে দেয়। কোলব্রুক ১৮১৭ সালে বিচার করেছিলেন যে পরীক্ষা করে পাওয়া একটি উত্তর থেকে অনেক উত্তর বের করার হিন্দু রীতি লাগ্রাঞ্জ পর্যন্ত অন্য কারও কাজের তুলনায় সাধারণ সমাধানের সবচেয়ে কাছে এসেছিল।

ইউরোপের নথি শুরু পরে। ম্যাকটিউটর বলে, ব্রহ্মগুপ্ত, দ্বিতীয় ভাস্কর এবং নারায়ণ, যিনি চতুর্দশ শতকে বীজগণিত-এর টীকা লিখেছিলেন, তাঁদের পদ্ধতি সপ্তদশ শতকের ইউরোপীয় গণিতজ্ঞদের কাছে সম্পূর্ণ অজানা ছিল। ফার্মা তাঁর চ্যালেঞ্জ দেন ১৬৫৭ সালে, আর তার একটি সমস্যা ছিল 61x² + 1 = y², ভাস্কর যে ক্ষেত্র সমাধান করেছিলেন। ব্রাউনকার একটি পদ্ধতি বের করেন, আর ওয়ালিস ১৬৫৮ সালে চিঠিপত্রের আদান-প্রদান প্রকাশ করেন। অয়লার সমীকরণটির নাম দেন পেলের নামে, সাধারণভাবে বিশ্বাস করা হয় পেলকে ব্রাউনকার ভেবে গুলিয়ে ফেলে, ম্যাকটিউটর বলে। লাগ্রাঞ্জ ১৭৭১ সালে একটি কঠোর প্রমাণ প্রকাশ করেন। কোলব্রুক এ-ও দেখেছিলেন যে প্রথম ঘাতের পূর্ণসংখ্যা সমীকরণের সাধারণ সমাধান, ইউরোপে প্রথম দেন বাশে দ্য মেজিরিয়াক ১৬২৪ সালে, “হিন্দু বীজগণিতবিদদের পদ্ধতিই হুবহু”।

গ্রহণ, গোলক আর পরিবর্তনের হারের একটি প্রাচীন রূপ

পিঙ্গ্রি সিদ্ধান্ত শিরোমণি-কে বর্ণনা করেন দুই ভাগে। প্রথম ভাগ, গণিতাধ্যায়, ১২টি অধ্যায়ে গ্রহের গড় ও প্রকৃত অবস্থান, গ্রহণ, গ্রহের অক্ষাংশ, উদয় ও অস্ত, নতুন চন্দ্রকলা ও যুতি নিয়ে। দ্বিতীয় ভাগ, গোলাধ্যায়, ১৩টি অধ্যায়ে গোলক নিয়ে, তার মধ্যে আর্মিলারি গোলক (আকাশের বৃত্তগুলি বোঝাতে একটির ভেতর আরেকটি বসানো বলয়ের মডেল), গোলকীয় ত্রিকোণমিতি, যন্ত্র ও ঋতু। ভাস্কর নিজের টীকাও লিখেছিলেন, বাসনাভাষ্য। ম্যাকটিউটর যোগ করে, ত্রিকোণমিতি নিজের জন্যই তাঁর যেন বেশি আগ্রহ ছিল তাঁর পূর্বসূরিদের চেয়ে, যাঁরা একে শুধু হিসাবের হাতিয়ার মনে করতেন, এবং তাঁর দুটি কোণের যোগফলের সাইনের সূত্র উদ্ধৃত করে।

এই বইয়ের সঙ্গে আদি ক্যালকুলাসের একটি দাবি জড়িয়ে আছে, এবং তার একটি নামধরা ইতিহাস আছে। পিঙ্গ্রির গ্রন্থতালিকায় বাপুদেব শাস্ত্রীর ১৮৫৮ সালের একটি প্রবন্ধ আছে, শিরোনাম “ভাস্করের ব্যবকলন ক্যালকুলাসের জ্ঞান”, তার পর ১৮৬০ সালে ডব্লিউ. স্পটিসউডের একটি টীকা এক ভারতীয় জ্যোতির্বিদের ওই নীতির “কথিত আবিষ্কার” নিয়ে। Indian Journal of History of Science-এর ২০২৩ সালের একটি প্রবন্ধ, ভেঙ্কটেশ্বর পাই আর. ও এম. এস. শ্রীরামের, সারসংক্ষেপে বলে ভারতীয় জ্যোতির্বিদ্যায় লঘুমানস (আনুমানিক ৯৩২ খ্রিস্টাব্দ) থেকে গ্রহের গতির হার বের করতে অবকলজ ব্যবহার হত। বাসনাভাষ্য-এ, তা বলে, ভাস্কর ব্যাখ্যা করেন কেন তাৎক্ষণিক গতির হার (তাৎকালিকগতি) দরকার, যাতে জড়িত সাইন অপেক্ষকের অবকলজ।

সেটি জ্যোতির্বিদ্যার ভেতরের একটি হারের নিয়ম, কোনো মুহূর্তে গ্রহের গতি বের করতে ব্যবহৃত। ম্যাকটিউটর জানায়, মধুকর মল্লায়া ভাস্করের নিয়ম (a × 0) / 0 = a-র শূন্যকে পড়েন আধুনিক ইনফিনিটেসিমাল হিসেবে, যে কোনো সংখ্যার চেয়ে ছোট একটি রাশি, এবং যোগ করে যে এতে ভাস্করের উদ্দেশ্যের চেয়ে বেশি ধারণা দেখা হয়ে থাকতে পারে। ম্যাকটিউটরের নিজের ফল-বিবরণে ক্যালকুলাসের উল্লেখ নেই। অসীম শ্রেণি এসেছে পরে, আর তার কথা বলা আছে ওপরে সংযুক্ত কেরালার লেখায়।

কন্যা, মুক্তা আর পাঠ যা বলে

লীলাবতী-র সঙ্গে জুড়ে থাকা এক গল্পে ভাস্কর তাঁর কন্যা লীলাবতীর কোষ্ঠী তৈরি করেন এবং তার বিয়ের সঠিক লগ্ন বের করেন। তিনি জলের পাত্রে একটি ছোট ছিদ্রওয়ালা পেয়ালা রাখেন, ওই লগ্নে ডোবার সময় মিলিয়ে। সে ঝুঁকে পড়ে, তার পোশাক থেকে একটি মুক্তা পড়ে ছিদ্র আটকে দেয়, আর লগ্ন পেরিয়ে যায়। তাকে সান্ত্বনা দিতে তিনি তাকে একটি গণিতের বই লিখে দেন। ম্যাকটিউটর গল্পটি জি. জি. জোসেফের বই থেকে বলেছে, এবং জানায় ফারসি অনুবাদক ফৈজি ১৫৮৭ সালে তা বলেছিলেন।

এটি একটি ঐতিহ্য, এবং পণ্ডিতেরা তাকে সেভাবেই দেখেন। ম্যাকটিউটর বলে এটি সত্য হওয়ার “কোনো প্রমাণ আছে বলে দেখা কঠিন”, লীলাবতী যে তাঁর কন্যা ছিলেন তা নিশ্চিত নয়, এবং একটি তত্ত্বে তিনি তাঁর স্ত্রী। পিঙ্গ্রি বইটি বর্ণনা করেন একজন নারীকে উদ্দেশ করে, “(তাঁর কন্যা না স্ত্রী?)”। পাঠের ভেতরে ভাস্কর কথা বলেন একজন নারীর সঙ্গে। কোলব্রুকের অনুবাদে একটি উদাহরণ তাঁকে ডাকে “সুন্দরী ও প্রিয়া” বলে এবং তাঁর চোখ বলে “হরিণশাবকের মতো”। সেখানকার একটি পাদটীকা বলে নামটি “দৃশ্যত এমন এক নারীর নাম যাকে নির্দেশনা দেওয়া হচ্ছে”, এবং যোগ করে কিছু টীকা, ব্যুৎপত্তি অনুযায়ী, এর অর্থ নেয় “মনোহারিণী”।

শূন্য দিয়ে ভাগ, হারানো প্রমাণ আর জাল সপ্তম বই

ভাস্কর শূন্য দিয়ে ভাগের একটি নিয়ম দিয়েছিলেন। বীজগণিত-এ তিনি লিখেছিলেন কোনো রাশিকে শূন্য দিয়ে ভাগ করলে তা “এমন ভগ্নাংশ হয় যার হর শূন্য”, এবং একে বলেছিলেন অসীম রাশি। ম্যাকটিউটর বলে এটি টেকে না, কেননা n/0 অসীম হলে শূন্য গুণ অসীম প্রতিটি সংখ্যা n-এর সমান হত, এবং লক্ষ করে ভারতীয় গণিতজ্ঞেরা মেনে নিতে পারেননি যে শূন্য দিয়ে ভাগ অসম্ভব। শূন্য নিয়ে ব্রহ্মগুপ্তের আগের নিয়ম আছে শূন্য নিয়ে লেখাটিতে।

ম্যাকটিউটর এ-ও যুক্তি দেয় যে চক্রীয় পদ্ধতির কোনো প্রমাণ ভাস্করের ছিল না, কারণ প্রমাণটি দীর্ঘ ও কঠিন এবং দ্বাদশ শতকের গণিতের অনেক বাইরে। ছয়টি গ্রন্থ তাঁর বলে স্বীকৃত। সপ্তমটি, বীজোপনয়, ১১৫১ সালের বলে দাবি করে, এবং পিঙ্গ্রি কুপ্পন্ন শাস্ত্রীর কাজ থেকে সিদ্ধান্তে আসেন যে এটি জাল করা হয়েছিল দক্ষিণ ভারতে ১৮১০-এর দশকের গোড়ায়।

১২০৭ সালে একটি বিদ্যালয়, তিনটি ফারসি রূপ আর দুটি উপগ্রহ

মহারাষ্ট্রের চালিসগাঁওয়ের কাছে পাওয়া পাটনা শিলালিপির তারিখ শকাব্দ ১১২৮-এর এক চন্দ্রগ্রহণ, যাকে Epigraphia Indica সমান ধরেছে ১২০৭ সালের ৯ আগস্টের। তাতে লেখা চাঙ্গদেব সিদ্ধান্ত শিরোমণি অধ্যয়নের জন্য একটি কলেজ স্থাপন করেন। যাদব রাজা সিংঘনের সামন্ত দুই নিকুম্ভ ভাই, সোইদেব ও হেমাদিদেব, তা অনুদান দেন। ম্যাকটিউটর যোগ করে, একটি মধ্যযুগীয় মন্দির-শিলালিপি তাঁর প্রশংসা করেছে “ময়ূরের চূড়ার মতো” বলে।

ফৈজির ফারসি লীলাবতী ১৫৮৭ সালের, সম্রাট আকবরের আদেশে, কোলব্রুক লিখেছেন, আর পিঙ্গ্রি জানেন আরও দুটি ফারসি রূপ, আনুমানিক ১৬৬৩ ও ১৬৭৮ সালের। শাহজাহান বীজগণিত অনুবাদ করান ১৬৩৪ ও ১৬৩৫ সালে। ইংরেজিতে জে. টেলরের সংস্করণ ছাপা হয় বোম্বেতে ১৮১৬ সালে, আর কোলব্রুকের পরের বছর।

পুণেতে ভাস্কারাচার্য প্রতিষ্ঠান স্থাপিত হয় ১৯৭৬ সালে, গণিতজ্ঞ শ্রীরাম অভ্যংকরের হাতে। ১৯৯২ সাল থেকে এটি আঞ্চলিক গণিত অলিম্পিয়াডের স্বীকৃত কেন্দ্র, আর প্রতিষ্ঠানটি বলে তার প্রশিক্ষিত ছাত্রেরা আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডে ৫০টিরও বেশি পদক জিতেছে।

ভারতের প্রথম উপগ্রহ, এক আগের জ্যোতির্বিদের নামে, আছে নিজের লেখায়। ইসরোর ভাস্কর-১ পাতা, যে উপগ্রহ বহন করত টেলিভিশন ক্যামেরা ও একটি মাইক্রোওয়েভ রেডিওমিটার, তার উৎক্ষেপণের তারিখ দিয়েছে ১৯৭৯ সালের ৭ জুন। গুন্টারস স্পেস পেজ তালিকাভুক্ত করেছে ১৯৮১ সালের ২০ নভেম্বর উৎক্ষিপ্ত দ্বিতীয় একটি উপগ্রহ এবং বলেছে জোড়াটির নাম দুই ভাস্করাচার্যের নামে।