公元499年，阿耶波多把逐位开方、级数求和、24项正弦表和整数方程解法，装进了约120节诗

《阿耶波多历数书》写成于公元499年，把当时的算术、代数和三角学装进了一章33节诗的数学篇。圣安德鲁斯大学的数学史档案MacTutor数出这些诗节里有66条规则，都不附证明。作者阿耶波多自称23岁，由此推得他生于476年。

本文只讲数学。地球自转和日食月食的解释在另一篇文章里，以他命名的卫星在再一篇里。

库苏马普拉的一位23岁青年

阿耶波多在书的第三章里写下了自己的年代。在W. E. 克拉克1930年由芝加哥大学出版社出版的英译本里，这一节计的是3,600年再加四分之三个“尤迦”（一种巨大的天文周期），并说他的生命已经过去二十三年。克拉克推算，如果阿耶波多像后世天文学家那样把迦利时代起点定在公元前3102年，这一节正好落在公元499年。他还补充说，十五世纪的注释者帕拉梅什瓦拉引述了更早的一部注释，把499年读作书中行星表精确适用的年份。MacTutor和克拉克都把499年当作成书之年。

书里也点出了它所陈述的这门学问所在的地方。在克拉克的译文里，阿耶波多介绍的是“在库苏马普拉受到尊崇的学问”。大卫·平格里（David Pingree）在《科学传记辞典》中把库苏马普拉认定为华氏城（Pataliputra），即今天的巴特那，笈多王朝四、五世纪大部分时间的帝都。MacTutor补充说，库苏马普拉的确切位置并不确定。克拉克说，它“可能是也可能不是他的出生地”。

他生在哪里，至今未定。有一种传说说是阿什马卡（Asmaka，这个地区本身的位置也有争议），依据是注释者尼拉坎塔·索马苏特万（生于1443年）的一句话。平格里认为那很可能是把他和巴斯卡拉一世弄混了，MacTutor说现在多数历史学家认为尼拉坎塔是把两人弄混。另有人提出喀拉拉、泰米尔纳德、安得拉邦或孟加拉。MacTutor引了S. 帕拉梅斯瓦兰（S. Parameswaran）的结论：这两处地方都下不了最终判断。

传记里还有两点。阿拉伯学者比鲁尼以为有两位名叫阿耶波多的数学家，MacTutor说，B. 达塔（B. Datta）1926年证明他们是同一个人。他的著作也只有一本留存。平格里列出了另一本如今已佚的书，其中讲的是一种从午夜起算日子的历法。

一本为背诵而写的书

《阿耶波多历数书》有四个部分：一组很短的开篇诗节，载有天文常数；数学篇（Ganitapada，33节诗）；讲时间计算和行星模型的一章（25节诗）；讲天球和食的一章（50节诗）。诗节总数取决于怎么数开篇。MacTutor的数字是118节，而克拉克的版本印有13节开篇诗，加上另外三部分的108节，共121节。

照克拉克的描述，这本书是一份摘要，而不是完整的计算手册。它陈述阿耶波多体系中独特的部分，略去读者本来就该知道的常规步骤。数学内容是压缩成诗的规则，没有证明，所以读者需要老师或注释。

学者们问过，每一节诗是否都出自阿耶波多之手。B. L. 范德瓦尔登（B. L. van der Waerden）提出，据MacTutor转述，十节的开篇写得比另外三部分晚，另有几节是库苏马普拉学派的成员添加的。克拉克没有找到拒绝开篇部分的充分理由，部分原因是婆罗摩笈多在628年至少引用了其中三段，并把它归于阿耶波多。克拉克总体上判定此书是真的。他在1930年写道，如果作者无误，这就是现存最早的、署有个人姓名的印度数学和天文学文本。

写成音节的数

阿耶波多把大数写成词。辅音代表1到25，然后是30到100，附在辅音上的元音把数值推向更高的位。MacTutor说，这套办法可以表示到10的18次方。克拉克指出，元音的规则可以有不止一种译法，而且阿耶波多自己用到的最大数字只有十位。

他自己举的例子是一个“尤迦”里月亮绕地球的圈数。一个梵文词，逐个音节读下来，在克拉克那里得到6、30、300、3,000、50,000、700,000、7,000,000和50,000,000这几个值，合起来是57,753,336。只有开篇诗节用这种记法，书的其余部分用普通的数词。

这样的系统靠的是位置决定数值，数学篇直接说了这一点。第2节列出从一到十亿的各个数级，并说它们“逐位而上，每一位是前一位的十倍”（克拉克译文）。克拉克的判断是：“很难相信这样一套描述性的字母记数法不是建立在位值记数法之上的。”十进制的更长历史，从婆罗摩笈多关于零的规则讲起，在讲印度与零的那篇文章里。

阿耶波多是否有零的符号，是另一个问题，各来源有分歧。他用来表示一个位的词kha，后来成了梵文里表示零的常用词。克拉克的说法是，阿耶波多的时代是否在使用零的符号仍有争议，他推测计算可能是在画有纵列的板上进行的，零就是一个空列。MacTutor关于零的历史说，他设计了一套没有零却有位置的数字系统。MacTutor引用的历史学家乔治·伊弗拉（Georges Ifrah）认为，“阿耶波多极有可能知道零的符号”，因为没有它，他的开方法就无从成立。牛津大学对巴赫沙利手稿（Bakhshali manuscript）的碳年代测定，把这份用圆点表示空位的手稿最早的材料定在早到三世纪或四世纪。MacTutor关于印度数字的页面说，这份手稿的年代有争议。据MacTutor，所有历史学家都接受的第一个有确切年代的零，是876年瓜廖尔的一块铭文。

开方、求和与利息

开方的规则在第4和第5节。开平方的规则开头是，克拉克译作：“总是用（前一个）varga的（平方）根的两倍去除avarga。”这里varga既指平方，也指从右数起的奇数位，avarga指偶数位。这个方法逐位处理一个数，一次取出根的一位数字。克拉克判定这个过程基本正确，同时指出措辞上有几处困难。开立方的规则以同样的风格接在后面。

第22节给出两个和。前n个整数的平方和，是n、n加1、再乘以2n加1这三者之积的六分之一。它们的立方和，等于这些数本身之和的平方。用现代记法，就是n(n+1)(2n+1)/6和(1 + 2 + … + n)的平方。第19节给出一个按固定步长递增的级数中任意一段的和，第20节则从总和倒推项数，这涉及开平方。

这一章还有一条规则，解的是利息本身再生利息的问题，有一条三率法（克拉克译作“把果乘以愿，再除以量”），以及三角形面积等于垂线乘底边的一半。MacTutor指出，三角形和圆的面积是对的。

粉碎术

最专门的规则是第32和33节。它们求一个整数，使它被两个不同的数除时留下给定的余数。MacTutor描述说，问题是求形如by = ax + c或by = ax减c的方程的整数解，阿耶波多的论述是它所知道的最早的。天文学家在推算行星周期时遇到了这个问题。

这个方法叫kuttaka，意思是“粉碎”：把问题分解成系数越来越小的新问题。MacTutor的说法是，这实质上就是求最大公因数的欧几里得算法，并与连分数有关。一个小例子是，一个数被5除余2、被7除余3，这个数是17。天文学里的情形涉及大得多的除数。在2006年为RSA安全会议写的一篇论文里，苏巴什·卡克（Subhash Kak）指出，解这类同余式的算法在某些情形下可以代替中国剩余定理。

克拉克对这两节诗说得很坦率。它们很压缩，他在摩诃毗罗、巴斯卡拉或第二位阿耶波多那里都没找到读懂它们的帮助。最接近的对应是婆罗摩笈多更详细的文本，即《婆罗摩历算书》（628年）的第18章。因此克拉克的解读依据的是帕拉梅什瓦拉的注释和婆罗摩笈多的措辞，两条规则哪一条更早，他留给数学家去判断。MacTutor说，巴斯卡拉一世629年的注释只涉及33节数学诗，处理一次不定方程，并给出说明阿耶波多规则的例子。

π和正弦表

第10节让读者把100加4，乘以8，再加62,000，得到62,832，它是直径为20,000的圆的周长。这样比值就是3.1416。按克拉克的译文，这一节称结果是周长的“近似值”。据MacTutor，阿耶波多没有解释这个数是怎么得到的，实际计算时用的是10的平方根。A. 艾哈迈德（A. Ahmad）提出过256边形的办法，E. M. 布鲁因斯（E. M. Bruins）则证明把边数加倍得不出这个值。更详细的讲述在前一篇文章里。

第一部分列出24个正弦差，从225、224、222一路降到7，对应的是把四分之一圆分成每步225弧分（即3度45分）。半径取3,438弧分，这24个差加起来恰好是这个数。21,600弧分的圆周除以2π，也大约得3,438。第12节给出了从第一项造出整张表的规则。克拉克指出，阿耶波多计算正弦所用的确切方法并不清楚。

巴斯卡拉一世的《大巴斯卡拉书》（Mahabhaskariya）后来给出一个正弦的有理公式，并把它归于阿耶波多。MacTutor报告其最大误差在百分之一以内。MacTutor关于三角函数的页面，追溯了阿耶波多表示半弦的梵文词jya，如何经阿拉伯语的jiba、再经jaib，变成拉丁语的sinus。

数学上各来源的分歧

这一章里有两条规则被判定为错。克拉克说，第6和第7节把棱锥和球的体积给错了，MacTutor报告多数历史学家也认为是错的。K. 埃尔弗林（K. Elfering）主张，对两个术语换一种译法，两条就都对了。MacTutor观察到，他的读法要求这两个术语取不寻常的含义，所以问题仍然悬着。克拉克补充说，婆罗摩笈多批评阿耶波多约六十次，主要针对天文学和对传统的背离，对数学篇却一字未提，克拉克认为这也许只是说明他没有找到可反对的地方。

从六世纪到1854年的注释

这本书被讲解了十二个多世纪。平格里列出了注释者：约525年的普拉巴卡拉（Prabhakara），其著作已佚；然后是629年的巴斯卡拉一世；约1040年的索梅什瓦拉（Someshvara）；喀拉拉的苏里亚德瓦·亚杰万（Suryadeva Yajvan，生于1191年）；帕拉梅什瓦拉（约1400至1450年）；尼拉坎塔·索马苏特万（生于1443年），他所在的喀拉拉学派是另一篇讲级数与微积分的文章的主题；一直到博比利的科丹达拉马（Kodandarama of Bobbili），他的泰卢固语注释约成于1854年。平格里指出，南印度的学者对它研究得特别细。此书约800年被译成阿拉伯语，名为《Zij al-Arjabhar》，平格里说比鲁尼的全部引文都来自这个译本。H. 克恩（H. Kern）1874年在莱顿出版了附有帕拉梅什瓦拉注释的梵文本，克拉克的英译本1930年随后问世。

据MacTutor，巴斯卡拉一世称阿耶波多是传下数学、运动学和球面学这三门学问的大师。印度第一颗卫星于1975年4月19日发射，以他命名，ISRO的页面有记载。1979年，国际天文学联合会批准把阿耶波多这个名字用于一座月球环形山，美国地质调查局的地名录列出其直径为21.89公里。